156 
Erster Teil. Differential-Rechnung. 
drei Variablen den Übergang von einem rechtwinkligen Ko 
ordinatensystem zu einem andern ebensolchen bei Pesthalten 
des Ursprungs; wird auch dieser geändert, so tritt in den 
Gleichungen rechts noch eine additive (beliebige) Konstante 
hinzu. 
Um zunächst die Eigenschaften der Koeffizienten einer solchen 
Transformation zu ermitteln, bilde man die Quadratsumme der 
Transformationsgleichungen: 
x 2 + y 2 + £ 2 = 
(a 1 2 + a 2 2 + a 3 )x x + (b 2 + b 2 2 -j- h 3 )y x + (c x -f- c 2 -f- c 3 )z x 
+ 2 (b x c x + b 2 c 2 + b 3 c 3 ) y x z x + 2 (c x a x + c 2 a 2 + c 3 a 3 ) z x x x 
+ 2 (a x b x + a 2 b 2 + a 3 b 3 )x x y x - 
ersetzt man die linke Seite, entsprechend der Definition, durch 
x x + Vi + 80 führt die Vergleichung beider Seiten zu 
folgenden für die orthogonale Transformation charakteristischen 
Beziehungen*): 
a 2 + a 2 2 + o 3 2 = 1 
b 2 + V + V = 1 
c x + c % + c z = 1 
b x c x -j~ b 2 c 2 -j- b 3 c 3 = 0 
c x a x + c 2 a 2 + c 3 a 3 = 0 
a x b x + a 2 b 2 + a 3 b 3 = 0. 
Multipliziert man ferner (16) der Reihe nach mit a x , a 2 , a 3 ] 
dann mit b x , b 2 , b 3 , endlich mit c x , c 2 , c 3 und bildet jedesmal 
die Summe mit Rücksicht auf (17), so ergibt sich die inverse 
Transformation 
{ x x = a x x -f a 2 y + a 3 z 
y x = b x x + b 2 y + b 3 z 
z x = c x x -b c 2 y -f- c 3 z 
*) Mit Hilfe dieser Relationen ist leicht nachzuweisen, daß das 
Quadrat der Determinante (des „Moduls“) der Transformation: 
a x b 1 c x 
«s \ C 3 
gleich der Einheit, die Determinante seihst also -f- 1 oder — 1 und da 
her von Null verschieden ist.