Dritter Abschnitt. Differentiation von Funktionen mehrerer Variablen. 159 
5) Zu zeigen, daß infolge der Transformation 
x — | -f- rj cos CD 
y — 7] Sin CD 
(Übergang von rechtwinkligen Koordinaten x, y zu schief 
winkligen £, y bei derselben Abszissenachse, demselben Ur 
sprung und dem Koordinatenwinkel cd) die folgenden Relationen 
stattfinden: 
1 i d* z o 
in 2 coiai 2 d{ 
d*z d 2 z 
dx 2 dy 2 
d 2 z . d 2 z 
-gj cosa, + W 
d'i d't 
dx 2 dy 2 
d 2 z 
)*—4-{ 
7 simo l 
d 2 z d 2 z 
(J±) 
\d%driJ 
(dxdyj sirrco l c| 2 dy 2 \didrjJ 
68. Simultane Transformation dreier voneinander 
abhängigen Variablen. Zwischen den drei Variablen x, y, z 
bestehe ein funktionaler Zusammenhang, in welchem x, y als un 
abhängige Veränderliche gelten; an Stelle von x, y, z sollen neue 
Variable u, v, w mittels der Transformationsgleichungen 
( X = cp(u, V, w) 
(20) \y = t(u, v, w) 
\z = i [u, v, w) 
eingeführt werden. JEs sind die Differentialquotienten 
^dx 2 ’ ’ ‘ ‘ durch die aus dem neuen Zusammenhänge hervorgehen- 
i dw div d 2 w 7 , 77 
den -7,—, -75—, 75—0.... darzustellen, 
du’ dv ’ du 2 ’ 
Zur Lösung dieser Aufgabe sind die Gleichungen 66, (12), 
(14) heranzuziehen, deren erste Gruppe wir zu diesem Zwecke 
in der Form schreiben 
i dz 
I du 
| dz _ dz dx dz dy m 
\ dv ~~ dx dv' dy dv" 1 
nun sind, da w als Funktion von u, v aufgefaßt wird, ver 
möge (20) x, y, z zusammengesetzte Funktionen von u, v; in 
folgedessen hat man mit Benutzung der in 66 eingeführten 
Bezeichnung: 
dx . dw dy . , . du1 dz . dw 
, . , du T« “b du ’ du ^^ w du ’ du du 
(22) 
dz dx dz dy 
dx du' dy du 
dx 
üi = T. + <P U 
dv 
die 
dv '■ 
dy_ 
dv 
i’v + V, 
d io 
dv ‘ 
dz 
dv 
lv + Xu 
dw m 
dv * ?