Vierter Abschnitt. Reihen. 
165 
wert + oo. s) Ähnlich muß für x = ~l auf die Reihe selbst, 
d. i. 1 — 1 + 1 — 1 + • • • gegriffen werden, deren Partial 
summen die Zahlenfolge 1, 0, 1, 0, . . . bilden; die Reihe (6) ist 
divergent und man sagt, sie schwanke zwischen 0 und 1. 
Wie dieses Beispiel zeigt, tritt die Divergenz entweder 
dadurch zutage, daß die Partialsummen schließlich mit Bei 
behaltung eines bestimmten Vorzeichens dem Betrage nach 
größer werden und bleiben als jede positive Zahl — der Grenz 
wert der Reihe ist + oo oder — oo — oder daß sie bei 
numerischem Wachsen beständig ihr Vorzeichen wechseln — 
der Grenzwert ist unbestimmt unendlich — oder daß sie 
zwischen zwei endlichen Zahlen schwanken — der Grenzwert 
ist unbestimmt. 
2) Aus der unbegrenzt fortsetzharen Folge reeller Zahlen 
ü^o, ... 
bilde man die neue Folge 
CCq CC-^ y : — CCCCi■) y ü'2 *■— : CCc) (Cq y . • , y 
dann gehört zu der unendlichen Reihe 
a o "P % “I“ a 2 “h 
die allgemeine Partialsumme 
s n = ( a o — a i) + («1 — cc s ) + • • • + (a n — a n + 1 ) = cCq a n+i ; 
die Reihe ist demnach konvergent, wenn cc n + 1 mit wachsen 
dem n gegen eine bestimmte Grenze konvergiert; ist a diese 
Grenze, so hat die Reihe den Grenzwert s = cc 0 — cc. In jedem 
anderen Falle ist sie divergent. 
Ist beispielsweise 
l 
~ (p + v — i) cp + v) ■ • ■ cp + q + v — i) ’ 
also 
a = a — a — - ( * * \ 
v v V + 1 (p + V) • • • Cp + fl + V — 1) \p + V — 1 p + 2 + *7 
fl +1 
(p+v — i j cp + v) • • • cp + a + v) > 
so ist lim cc v = Q, die Reihe a 0 + a x + a 2 + • • • also kon- 
V = + OO 
vergent und s = cc 0 = -r ~— r ——-r- ihr Grenzwert, 
0 (p — l)p ■ • • (p + fl — l) ’ 
so daß