Vierter Abschnitt. Reihen. 169 
so ist auch die mit Hilfe eines bestimmten von Null ver- 
oo 
schiedenen Je gebildeten Reihe ^jha v konvergent und Jcs ihr 
o 
Grenzwert. 
Ist nämlich s n die Partialsumme aus den n + 1 Anfangs 
gliedern der ersten Reihe, so ist Jes n die entsprechende Partial- 
summe der zweiten, und konvergiert s n für lim n = -f oo gegen 
s, so konvergiert Tts n gleichzeitig gegen Jcs. 
War dagegen die erste Reihe divergent, so ist es die 
zweite auch. 
Mit Hilfe dieses Satzes ergibt sich beispielsweise aus der 
letzten Gleichung in 69, daß 
— 1 j 1 1 1 u 
1-2-3 2-3-4 1 3-4-5 r 
2 0 +1) 0 + 2) {v -f 3) 
00 oo 
2) Sind die Reihen 2 a v und 2 h t , konvergent und s, t 
o o 
ihre Grenzwerte, so sind auch die Reihen 
oo oo 
0 0 
konvergent und s t, s — t beziehungsweise ihre Grenzwerte. 
Bezeichnet man nämlich die Partialsummen aus den n -(- 1 
ersten Gliedern der vier Reihen folgeweise mit s n , t n , ö n , t n , 
so ist 
ö n = s n + t n , = s n — t n 
und daraus ergibt sich, wenn man den Grenzübergang 
lim n — -f oo ausführt, die Richtigkeit der obigen Behaup 
tungen. 
Ist nur eine der beiden ersten Reihen divergent, so gilt 
das Nämliche für die beiden letzten Reihen. 
Der Satz läßt sich auf eine beliebige, aber beschränkte 
Anzahl von Reihen ausdehnen. 
72. Reih en mit positiven Gliedern. Wir wenden uns 
nun der speziellen Betrachtung von unendlichen Beihen mit 
durchwegs positiven Gliedern zu, einesteils, weil diese Reihen 
ausgezeichnete Eigenschaften besitzen, andernteils, weil die Be