Vierter Abschnitt. Reihen. 
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Es seien ferner 
S n = «0 + a \ + • • • + a n 
<3 V = Oja 0 
zwei Partialsnmmen yon (10) und (11) von solcher Art, daß 
in d r die Glieder von s n Vorkommen; die darüber hinausgehen 
den Glieder von 6 V stammen daher aus dem zu s n gehörigen 
Reste r n , demzufolge ist 
^v~ S n< r n] 
mit wachsendem n nimmt auch v beständig zu und sinkt r n 
unter jeden noch so klein festgesetzten Betrag e hinab; folg 
lich ist 
lim 6 V = lim s n = s. 
Daß eine divergente Reihe aus positiven Gliedern diver 
gent bleibt, wenn man ihre Glieder anders anordnet, folgt 
daraus, daß 
und daß s n mit wachsendem n größer wird als jede beliebige 
positive Zahl. 
3) Wenn man in einer konvergenten Beihe aus positiven 
Gliedern die Glieder gruppenweise susammenfaßt und aus den 
Summen dieser Gruppen eine neue Beihe hildet, so ist diese 
ebenfalls konvergent und hat denselben Grenzwert wie die ur 
sprüngliche. 
Denn die Partialsummen der neuen Reihe kommen unter 
den Partialsummen der ursprünglichen Reihe vor und nähern 
sich daher der nämlichen Grenze wie diese. Diese Schlußweise 
zeigt übrigens, daß der Satz für jede konvergente Reihe gilt. 
Daß aus einer divergenten Reihe mit positiven Gliedern 
durch den beschriebenen Vorgang wieder eine divergente Reihe 
entsteht, erkennt man auf die nämliche Art. 
Umgekehrt bleibt eine konvergente Reihe aus positiven 
Gliedern auch dann konvergent, wenn man einzelne oder alle 
Glieder in Summen positiver Zahlen auf löst. 
Die Eigenschaften 2) und 3) begründen eine vollständige 
Analogie zwischen unendlichen Reihen mit positiven Gliedern 
einerseits und endlichen Summen andererseits; sowie der Wert 
der letzteren unabhängig ist von der Anordnung und gruppen