Vierter Abschnitt. Reiben. 
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ß) stehen nun 
Fegen (ß) auch 
p es wegen (a) 
wegen (a) auch 
t es wegen (ß) 
Fen Gliedern, 
ihen zuwenden, 
ter Anzahl ent- 
afgestellte Fol- 
liwegs positiven 
Vorzeichen der 
ch Umkehrung 
hneten Gliedern 
t der aus den 
¡ukommt. Von 
inhedingt) Tton- 
• Reihen drückt 
Reihe ans posi~ 
inzahl ist gleich 
Uiedern gebildet 
•he aus den Äh- 
ensetzt. Er ist 
allgemeine Par- 
den absoluten 
Werten der Glieder von (14), 6 ihr Grenzwert, <5 n ihre all 
gemeine Partialsumme; ferner seien cc 0 , cc 1} a 2 , . . . die Indizes 
der positiven Glieder in der Ordnung, in welcher sie in (14) 
auftreten, und ebenso ß 0 , ß lf ß 2 , . . . die Zeiger der negativen 
Glieder; dann sind die Reihen 
(16) a a 0 + a a x + - ‘ 
(1^) I a ß 0 1 + I I + I I + ' ' ' 
beide notwendig konvergent; denn jede geht aus der konver 
genten Reihe (15) durch Unterdrückung eines Teiles der Glie 
der hervor (70, 3)). 
Die Partialsumme s n von (14) umfasse positive Glieder bis 
zum Zeiger a , negative Glieder bis zum Zeiger ß v - werden 
die bis zu diesen Gliedern reichenden Partialsummen von (16) 
und (17) mit t , beziehungsweise u^ v bezeichnet, so ist 
( 18 ) s «= t a/ll ~ U ß v ; 
wächst nun n unaufhörlich, so nehmen auch die Gliederzahlen 
der rechtsstehenden Partialsummen beständig zu und über 
schreiten nach und nach jede natürliche Zahl; demnach nähern 
sich t , Up v für lim n = oo den Summen t, u der Reihen 
(16), (17), so daß 
(19) s = t — u. 
Damit ist der erste Teil der Behauptung erwiesen. Der zweite 
Teil ergibt sich daraus, daß t, u ungeändert bleiben, wenn mau 
die Glieder in (16) und (17) anders anordnet (72, 2)); dem 
zufolge hängt auch s nicht ab von der Anordnung der Glieder 
in der ursprünglichen Reihe (14). 
Eine absolut konvergente Reihe weist also wie eine Reihe 
aus positiven Gliedern das Merkmal einer endlichen Summe 
auf, von der Anordnung der Glieder unabhängig zu sein; daher 
kann auch der Grenzwert einer solchen Reihe als Summe der 
selben bezeichnet werden. 
75. Bedingt konvergente Reihen. Multiplikations- 
theor em. Eine Reihe aus positiven und negativen Gliedern 
kann aber auch konvergent sein, ohne daß es die Reihe aus