Vierter Abschnitt. Reihen. 
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Gliedes der Gruppe Gq umkehrte oder in eine Gleichung ver 
wandelte; daß weiters 
Go-g.'+g^ä 
und 
G 0 — G 0 ' + G ± — G x ' <C A 
mit derselben Zusatzbemerkung usw. In dieser Anordnung 
bilden also die Glieder der Reibe (14) eine neue Reihe 
(20) G 0 — G 0 ' + G x — G t ' + G 2 — G 2 ' + • • • 
von solcher Art, daß eine mit G n schließende Partialsumme 
2J n größer ist als A, jedoch so, daß 
wenn a das letzte Glied der Gruppe G n , und daß eine bei 
— G n ' schließende Partialsumme 2J f ' kleiner ist als A, jedoch 
so 7 daß 
<V I-*) 
wenn 1 a > | das letzte Glied der Gruppe G n ' ist. 
Da nun mit n zugleich sowohl wie auch ¡i beständig 
und über jeden Betrag hinaus wächst und da lim a sowohl wie 
lim | a u ’ | Null ist 7 so zeigen die beiden letzten Ungleichungen, 
daß die Unterschiede — A, A — 2J n ' mit beständig wachsen 
dem n schließlich unter jeden positiven Betrag herabsinken, 
so daß 
lim 2J n = lim 2J n ' = A, 
d. h. in der durch (20) gekennzeichneten Anordnung ihrer Glie 
der hat die Reihe (14) den beliebig festgesetzten Grenzwert A. 
Wäre A negativ, so hätte man mit einer negativ genom 
menen Gruppe aus (17) zu beginnen und zwischen beiden 
Reihen abzuwechseln. 
Da der Grenzwert einer bedingt konvergenten Reihe erst 
durch eine bestimmte Anordnung der Glieder gegeben ist, so 
fehlt einer solchen Reihe der Charakter einer endlichen Summe; 
es empfiehlt sich daher nicht, jenen Grenzwert als Summe der 
Reihe zu bezeichnen. 
Aus dem Zusammenhalt der beiden Sätze dieses und des 
vorigen Artikels geht hervor, daß eine Reihe aus positiven 
*) Das Gleichheitszeichen käme in Kraft, wenn einmal nach Weg 
lassung des letzten Gliedes die Partialsumme dem A gerade gleich würde.