Vierter Abschnitt. Reihen. 
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oder 
a n +1 ^71 — 1 H - *« + 2^-2 + 
+. K + l S n-l + &n + 2 S n-2 + 
Mithin ist 
■H tt 2n^0 
+ b 2n s o- 
Uo 
SJn\£' a n +1 
^»-1 I I a n + 2 
Wi i 5 »-i : + I 6«+2 
weiter gilt für jedes m <^n — 1 
¿«-2 I + 
5 n-2 + 
+ a 2n 
+ \\n\ 
Sm I < : «0 1 + 
+ * • • + a„_i 
C < ! I + 
+ K 
wobei das Ungleichheitszeichen nur im Falle m = n — 1 in 
ein Gleichheitszeichen übergehen kann; daher ist in verstärktem 
Maße 
U 2 n~ S Jn\<{ \ I + | 6 1 H \~\^n-l\)( a n + l J r a n + 2' J i M a 2ni) 
+ ( a 0 + Cl l H H ««-1 )( K + X + ? '« + 2 H j &2«i); 
die ersten Faktoren der beiden rechtsstehenden Produkte kon- 
oo 
vergieren wegen der vorausgesetzten Konvergenz von j a n 
o 
oo 
und | mit wachsendem n gegen bestimmte endliche 
0 
Grenzen, die zweiten Faktoren sinken schließlich aus dem näm 
lichen Grunde unter jeden noch so kleinen positiven Betrag 
herab (70); daraus folgt, daß der ganze rechtsstehende Aus 
druck mit wachsendem n schließlich kleiner wird als jede noch 
so kleine positive Zahl; deshalb ist 
also 
lim 1 u 2n -s n t n | =0, 
lim u 2n = st. 
n — -f oo 
00 
Damit ist aber die Konvergenz der Reihe c n und st 
o 
als ihr Grenzwert erwiesen. 
Daß die Konvergenz absolut ist, ist so zu erkennen. Mul 
tipliziert man U | a n \ mit 2\b n \, so entsteht eine konvergente 
Reihe mit dem allgemeinen Gliede 
?•-I «o M KI + I «111 K-1I + M 1 6.-21 + ••• + I fl, 11 \ I;