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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
| r n | < | a n + x 1 und daß r n das Vorzeichen von a n + 1 hat. Bricht 
man also bei einem Gliede ab, so hat der zugehörige Rest das 
Vorzeichen des nächsten Gliedes und ist numerisch kleiner als 
dieses. 
77. Beispiele. 1) Die Bedingungen des obigen Satzes 
erfüllt die Reihe 
(25) 
1 2 3 4 V 
sie ist daher konvergent, jedoch nicht absolut konvergent, weil 
die aus den absoluten Werten der Glieder gebildete Reihe, die 
harmonische, divergent ist (73, 1)). Bei dieser Anordnung der 
Glieder hat die Reihe einen Grenzwert, welcher liegt zwischen 
1 und 4-, ebenso zwischen -4 und ~, zwischen 4- und -- usw. T 
2 2 6 ' bl 2 7 
Grenzen, welche immer näher zusammenrücken. 
Bei anderer Anordnung der Glieder, z. B. bei der Anordnung 
1 
2 
(26) 
bleibt sie zwar konvergent, hat aber einen anderen Grenzwert, 
wie man sogleich erkennt, wenn man die positiven Glieder 
paare zusammenzieht (72, 3)); ihr Grenzwert liegt dann zwischen 
4 
3 
5 
J 
5 5 
und - -, also über „ , während er bei der früheren unter 
O 7 O 7 
war. Man kann übrigens die Beziehung der beiden Grenz 
werte genau feststellen; bezeichnet man den von (25) mit s r 
so ist (72, 3)) 
ferner auch (71, 1)) 
addiert man beide Gleichungen, so ergibt sich (71, 2)): 
3 
1 1 
J ~ V 
1 i 
7 T 
und rechts steht nun die Reihe (26) bei erlaubter Zusammen 
fassung der Glieder in Gruppen; heißt also s ihr Grenzwert, 
so ist s' = ~ s. Durch das Vorauseilen der positiven Glieder 
2 
hat sich also der Grenzwert um die Hälfte vergrößert.