78. Unendliche Produkte. Die Untersuchung unend 
licher Produkte führt auf die Betrachtung unendlicher Reihen 
zurück. 
Ist 
(29) cIqj 0*2, ... 
eine unbegrenzt fortsetzhare Folge reeller Zahlen, deren keine 
Null ist, und bildet man aus ihr die neue Folge 
( 30 ) PotPitP*t---> 
indem man 
Po = a o, Pi = a o a i, Pz = %<h<ht • • • 
nimmt, so ist auch kein Glied dieser neuen Folge gleich Null; 
man sagt dann, das unendliche Produkt 
oo 
(31) a 0 a i a 2 • • ■ = TJa v 
o 
sei konvergent, wenn p n mit beständig wachsendem n einer 
bestimmten von Null verschiedenen Grenze sich nähert; diese 
Grenze 
lim p n = p 
n = +00 
nennt man den Grenzwert des unendlichen Produktes. In jedem 
anderen Falle heißt das Produkt (31) divergent*). Die Pro 
dukte (30) von [1], 2, 3, ... Faktoren belegt man mit dem 
Namen Partialprodukte. 
Da das Vorzeichen des Produktes aus der (endlich voraus 
gesetzten) Anzahl der negativen Faktoren im voraus bestimmt 
werden kann, so darf man sich bloß mit dem absoluten Werte 
des Produktes befassen und daher alle Faktoren (29) als positiv 
voraussetzen. Dann folgt aus 
lp n = la 0 + la i P • • • -f- la n 
sofort, daß die hinreichende und notwendige Bedingung zur 
Konvergenz des Produktes (31) in der Konvergenz der Reihe 
IcLq -f- l(i^ -)- Ici/y H - • • • 
gelegen ist; denn ist diese Reihe konvergent und s ihr Grenz- 
*) Man zählt Produkte mit dem Grenzwert Null zu den divergenten, 
weil ihnen die singuläre Eigenschaft zukommt, den Wert Null zu haben, 
ohne daß einer der Faktoren Null ist. 
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Erster Teil. Differential-Rechnung.