Vierter Abschnitt. Reihen. 
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Das Partialprodukt p n von n (1 + cc v ) enthalte n Fak- 
o 
toren mit positiven a v — ihr Produkt heiße 11^ — und n" 
Faktoren mit negativen a v — ihr Produkt heiße dann 
ist n 4* n" — n und 
P n = n n' ny, 
mit n wachsen zugleich n, n" über jede natürliche Zahl hinaus. 
oo 
Ist nun, wie vorausgesetzt wurde, a v absolut konvergent, 
o 
so konvergiert (74) die Reihe aus den positiven cc v und mit ibi 
dem Falle 1) zufolge auch das Produkt Il' n ' nach einem von 
der Ordnung der Faktoren unabhängigen Grenzwerte JJ'; es 
konvergiert aber auch die Reihe aus den negativen cc v und mit 
ihr dem Falle 2) zufolge das Produkt Iln" nach einem von der 
Ordnung der Faktoren unabhängigen Grenzwerte II". Demzu- 
oo 
folge hat auch das Produkt 7/a 4- a v ) bei jeder Anordnung 
o 
seiner Faktoren einen und denselben Grenzwert 
p = n' n". 
Den absolut konvergenten Produkten stehen bedingt kon 
vergente gegenüber; es sind dies solche, deren zugehörige aus 
positiven und negativen Gliedern in unbegrenzter Anzahl zu- 
oo 
sammengesetzte Reihe cc v bedingt konvergent ist (74). Hier 
o 
kann nur von einem Grenzwerte hei bestimmter Anordnung der 
Faktoren die Rede sein; doch soll hierauf nicht weiter ein 
gegangen werden. 
79. Beispiele. 1) Das Produkt 
(1 + x) (1 + X 2 ) (1 -f- X 4 ) (1 + X 8 ) • • • 
ist nur dann konvergent, wenn es die Reihe x -f- x 2 -f 
+ x s 4- • • • ist, d. h. für x 2 < 1*). Dies zeigt auch das Partial 
produkt 
P«=(l +*)(! + **)•••(! +* 2 ”) 
l4-# + ^ 2 +£ 3 +---4- x 2n + 1 ~ 1 = - 1 -, * x 
s» + l 
*) Diese Bedingung ist notwendig, damit die Glieder schließlich 
gegen Null konvergieren Sie ist aber auch hinreichend, weil dann 
x 4- # 2 -f" xS 4" x 4 4" ••• eine konvergente Majorante ist. 
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