206 Erster Teil. Differential-Rechnung. 
gent ist, so ist ihr Grenzwert eine in diesem Intervalle stetige 
Funktion von x. 
Zwischen dem Grenzwerte f{x), der Partialsumme s n (x) 
und dem zugeordneten Reste r n (x) besteht die Beziehung: 
f{x) = s n 0) + rjx)- 
der Behauptung des Satzes zufolge muß sich zu einem beliebig 
festgesetzten positiven s ein positives 8 so bestimmen lassen, 
daß (17, 2)) 
I f\ x ) ~ f( x ) I < * 
für jedes Wertepaar x, x aus (a, ß), für welches x — x j < d. 
In der Tat, vermöge der gleichmäßigen Konvergenz kann 
n so groß gewählt werden, daß für jedes x aus (a, ß) 
I r J x ) I <Y, 
also auch 
I r ni x ) 
da ferner s n (x) als endliche Summe stetiger Punktionen selbst 
stetig ist, so läßt sich ein positives 8 so festsetzen, daß 
I S n {x)-S n (O 1 < y, 
wenn nur x — x < d. Hieraus folgt, was zu beweisen war, 
nämlich; 
I f\ x ) ~ f( x ') I 
- 1 S n( X ) - S n( X ') + r n( X ) - r ni X ) l<Y + Y + T = £ - 
84, Potenzreihen. Unter den Reihen mit variablen 
Gliedern sind am wichtigsten die Potenzreihen. Man versteht 
unter einer Potenzreihe eine Reihe, deren jedes Glied das Pro 
dukt aus einer Konstanten — dem Koeffizienten — und aus 
einer ganzen positiven Potenz der Variablen x ist; ihre all 
gemeine Form lautet demnach: 
(9) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + • • •; 
unter a 0 , a x , a 2 , . . , sollen, wenn nichts anderes bemerkt wird, 
reelle Zahlen verstanden werden. 
Aus den allgemeinen Sätzen über die Konvergenz unend 
licher Reihen kann zunächst der folgende Satz abgeleitet werden.