Vierter Abschnitt. Reihen. 
211 
die Grenze x Q , so konvergiert f(x) gegen die Grenze f(x 0 ), 
d. h. es ist 
f{xß) = lim fix) = a 0 + a t x 0 + a 2 x 0 2 + • • • 
x = x 0 
Insbesondere folgt daraus 
/'(°) = a o, 
so daß eine durch eine Potenzreihe definierte Funktion für 
x = 0 nur dann verschwindet, wenn die Reihe kein von x 
freies Glied enthält. Wenn allgemein 
fix) = a n x n + a n + 1 x n+1 -\ 
und wenn die Reihe konvergiert für alle Werte von x, die ab 
solut genommen kleiner sind als | X |, so konvergiert für die 
selben Werte auch die Reihe 
a n + a n+1 x + a„ +2 x 2 -j cp(x) 
und es ist 
f{x) = x n cp(x), 
und da cp {x) für x = 0 nicht verschwindet, so hat die Gleichung 
f(x) = 0 
x — 0 zur n-fachen Wurzel. 
86. Zweiter Abelscher Satz über Potenzreihen 
Durch die letzte Folgerung ist die gleichmäßige Konvergenz 
einer Potenzreihe und die Stetigkeit der durch sie definierten 
Funktion für jedes Intervall erwiesen, das innerhalb des Kon 
vergenzintervalls liegt. An den Grenzen dieses Intervalls selbst 
kann die Reihe verschiedenes Verhalten zeigen; sie kann un 
bedingt oder bedingt konvergent, sie kann aber auch divergent 
sein (s. letztes Beispiel in 84). Für die Einbeziehung der 
Grenzen des Konvergenzintervalles ist nun der folgende Ahei 
sche Satz von Wichtigkeit: 
Ist die Votenzreihe (9) für x = ß konvergent, so ist sie in 
jedem Intervalle (a, /3), dessen untere Grenze dem absoluten Werte 
nach kleiner ist als ß \, mit Einschluß der Grenzen gleichmäßig 
konvergent und stellt somit eine in dem Intervall (cc, ß) stetige 
Funktion von x dar. 
Es genügt, den Beweis blos für das Intervall (0, ß) bzw. 
(ß, 0) zu führen, je nachdem ß > 0 oder ß < 0; denn für 
14*