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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
gegen den Wert u x (85, 3)), die linke aber hat zum Grenz 
wert den Differentialquotienten der Funktion /*(#); mithin ist 
f (x) — u x — 1 a x -f- 2 a 2 x + 3 a s x 2 + • • • 
Dadurch ist aber auch die Bedeutung aller übrigen Reihen in 
(15) gegeben, da jede folgende aus der vorangehenden ebenso 
abgeleitet ist, wie die erste aus der Reihe (9); es ist also: 
f"{x) — 2 • la 2 -f- 3 • 2a 3 x + 4 • 3a 4 x 2 + • • • 
f( n \x) = n(n — 1) . . . la n -f- (n -f 1 )n . . . 2a n + x x 
+ ( n + 2) {n -f- 1) . . . 3a n+2 x 2 + • • • • 
Dieses Ergebnis fassen wir in dem Satze zusammen: Die 
durch n-molige gliedweise Differentiation einer honvergenten Po 
tenzreihe entstandene Potenzreihe hat für alle Werte von x inner 
halb des gemeinsamen Konvergenzintervalls beider Eeihen zum 
Grenzwerte den n-ten Differentialquotienten des Grenzwertes der 
•ursprünglichen Reihe. Man spricht es kurz dahin aus, eine 
konvergente Potenzreihe werde differentiiert, indem man sie 
gliedweise diiferentiiert, also wie eine endliche Summe von 
Funktionen behandelt. 
Hiernach ist nun 
f(v), 
fix) 
1 : 
m, = 
f"jx) 
1 • 2 ; 
f {n \x), 
1 • 2 • • • n 
und die endgültige Form von (18*) lautet: 
(19) fix + h) -f{x) + h + V-\ h A Ä* + - •, 
gültig, solange 
M<|Z|, |Ä|<| Z| —|a|. 
Die Entwicklung (19) führt den Namen der Taylorschen 
Reihe für die Funktion f{x-\-h)] ihre Ableitung erfolgte unter 
der Yoraussetzung, daß f{x) der Grenzwert einer konvergenten 
Potenzreihe sei. 
Ala konvergente Potenzreihe kann auch jede rationale ganze 
Funktion von x angesehen werden; ihr Konvergenzintervall er 
streckt sich über das ganze Gebiet der reellen Zahlen; ist 
f(x) = a 0 + a x x + a 2 x 2 -{-••• + a n x n , 
so ist 
f (”)(#) = n(n — 1) . . . 1 • a n