Yierter Abschnitt. Reihen. 
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und jeder höhere Differentialquotient gleich Null; für eine 
solche Funktion bricht also die Taylorsche Reihe ebenfalls mit 
dem in + l)-ten Gliede ah und lautet: 
(20) fix + 7.) - f(x) + ^ * + 9? h * + ''' + IyN, h "> 
sie ist hier gültig für jeden endlichen Wert von x und von h. 
89. Identische Gleichheit zweier Potenzreihen. Um 
die Bedingungen festzustellen, unter welchen zwei Potenzreihen 
eine und dieselbe Funktion darstellen, weisen wir zunächst den 
folgenden Satz nach: 
Wenn die durch die konvergente Potenzreihe 
a 0 -f a x x + a 2 x 2 + • • • 
definierte Funktion fix) für alle Werte von x aus einem beliebig 
engen Intervall (— 8, -f- 8) Null ist, so ist sie für alle Werte 
von x gleich Null, weil dann die Koeffizienten der Potenzreihe 
sämtlich verschwinden müssen. 
Weil der Wert x — 0 dem Intervall an gehört, so ist 
f{fS) = a 0 = 0; 
daher ist 
f(x) = a 1 x + a 2 x 2 +••• = #(«!+ a 2 x + •••), 
und soll dies letzte Produkt au jeder Stelle von (— 8, -f 8) 
gleich Null sein, so muß 
a^ -j- a 2 x -f- a 3 x~‘ -p * ■ ■ 
für alle diese Werte von x verschwinden, wofür wieder 
a x = 0 
notwendige Bedingung ist; dann aber ist 
fix) = a 2 x 2 + a s x B + • • • = x-(a 2 + a 3 x +•••), 
und damit das Produkt rechter Hand an allen Stellen des 
Intervalls (—8, + 8) verschwinde, muß dies seitens des Faktors 
a 2 + a 3 x + a 4 x 2 -f • • • 
geschehen, und dafür besteht die notwendige Bedingung 
a 2 = 0 
usw. Es muß also tatsächlich a n = 0 sein für jedes n aus 
der Reihe 0, 1, 2, . . .; dann aber ist für jeden Wert von x 
f(x) = 0.