220 
Erster Teil. Differential-Eechnnng. 
Der Satz gilt auch für eine rationale ganze Funktion, weil 
eine solche als besonderer Fall einer konvergenten Potenzreihe 
zu gelten hat. 
Die Beweisführung hat hier an den Umstand angeknüpft, 
daß dem Intervall (— d, + d) auch die Stelle Null angehört. 
Man kann aber ganz allgemein beweisen: 
Wenn die Funktion f(x) = a 0 + a x x -f a 2 x 2 + • • • für alle 
Werte von x aus einem "beliebigen die Null nickt enthaltenden 
Intervalle (cc, ß) ihres Konvergenzgebietes Null ist, so ist sie 
identisch Null. 
Wählt man nämlich innerhalb {cc, ß) einen Wert x, so 
lassen sich für h Grenzen (— s, + s) feststellen derart*), daß 
auch x -f- h innerhalb (a, ß) verbleibt; dann ist nach Voraus 
setzung 
f {x -f- Ä) = Uq -)- u x h -}- u 9 h“ -f- • • • 
für alle Werte von h aus (— s, -j- s) gleich Null, daher not 
wendig 
(21) u Q = 0, u x = 0, u 2 = 0, . . . 
für alle Werte von x innerhalb (cc, ß). Von dem der Null 
näherliegenden Werte x = a ausgehend kann man nun ein 
Intervall konstruieren, das bis an die ihm näherliegende Grenze 
des Konvergenzgebietes reicht, dessen Mitte a ist und in 
welchem vermöge (21) und (18) fix) beständig Null ist. Von 
dem der Null zunächstliegenden Punkte dieses Intervalls aus 
gehend konstruiere man ebenso ein erweitertes Intervall, in 
welchem wieder f(x) beständig gleich Null ist. Auf diese Weise 
fortfahrend muß man notwendig zu einem Intervall kommen, 
das die Null einschließt; dann aber befindet man sich im Falle 
des vorigen Satzes und schließt, daß 
a 0 =0, a x = 0, n 2 =0,... 
Auf Grund dieser beiden Sätze kann nun die Richtigkeit 
der folgenden Behauptung erwiesen werden: 
Besitzen zwei konvergente Potenzreihen 
a 0 -b a x x -f a 2 x 2 + • • • 
b Q -\- b x x b 2 x 2 • 
*) Man braucht nur s kleiner zu nehmen als den kleineren von 
den beiden Abschnitten, in welche (a, ß) durch das gewählte x zerfällt.