Vierter Abschnitt. Reihen. 
221 
für jedes x aus einem beliebigen Intervall (a, ß) übereinstimmende 
Grenzwerte f(x), g(x), so sind die Koeffizienten gleichhoher 
Potenzen von x einander gleich und die Grenzwerte im ganzen 
Konvergenzintervall übereinstimmend. 
Da nämlich 
fix) — g{x) = (a 0 — b 0 ) + (% — bf) x + (a 2 — bf) xf 4 
Null ist für alle x aus (a, ß), so ist 
ctg = 0, a-y by = 0, ci 2 b% == 0, • • •} 
also 
a o = ^o? ~ by, a 2 = b 2 , . . . 
und die Gleichung f{x) — g{x) = 0 oder f(x) = g{x) besteht 
für alle Werte von x, für welche die Reihen konvergieren. 
Daraus ergibt sich die Tatsache, daß eine Funktion, wenn 
sie als Grenzwert einer Potenzreihe darstellbar ist, es nur auf 
eine einzige Art sein kann. 
Auf dem eben erwiesenen Satze von der Eindeutigkeit der 
Potenzreihendarstellung, der übrigens wie für Potenzreihen 
auch für ganze Funktionen gilt, beruht die Methode der un 
bestimmten Koeffizienten, von der in der Analysis vielfacher 
Gebrauch gemacht wird*). 
90. Rechnen mit Potenzreihen. Die Anwendung der 
Regeln in 71, 2) und 75 für konvergente Reihen überhaupt 
auf Potenzreihen führt dazu, daß die Summe und Differenz, 
das Produkt und unter gewissen Voraussetzungen auch der 
Quotient zweier Potenzreihen ^ (x), iß 2 (V) wieder in der Ge 
stalt einer Potenzreihe $]3(V) dargestellt werden können. Über 
das Konvergenziutervall dieser letzteren mögen die folgenden 
Bemerkungen genügen.**) 
Haben ^20*0 verschiedene Konvergenzradien ly, l 2 , 
so ist der kleinere von beiden der Konvergenzradius von 
*) Ihr Grundgedanke ist zuerst von JR. Descartes in dem 1637 
anonym erschienenen Werke ausgesprochen worden, von dem der Ur 
sprung der analytischen Geometrie gewöhnlich datiert wird. 
**) A. Pringsheim-G. Faher 1. c.