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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
(6) 
Vermöge der Bedeutung’, welche dem H n zukommt, ist also 
f{x + h) , , 1 
f{x) + ^P-h+ f -^h? + 
+ 
h"- 1 4- F a . 
1 • 2 • • • (n — 1) 
Diese Gleichung in Verbindung mit (5) gibt die Taylorsche 
Formel in derjenigen Gestalt, welche ihr in Ansehung des 
Festgliedes B n Schlömilch und Roche*) erteilt haben. Die 
älteren Formen des Restgliedes nach Lagrange und Cauchy 
erhält man aus (5) durch Spezialisierung von p, erstere für 
p = n: 
W 1-2 ... n n ’ 
letztere für p = 1: 
f {n) (x + dh) 
(8) 
li.. = 
(i - ey- x i% n 
1 . 2 ... (w — 1) 
die Form (7) ist dadurch bemerkenswert, daß sie sich bis auf 
das Argument bei dem Bau der übrigen Glieder von (6) 
völlig anschließt. 
Für die späteren, überaus zahlreichen Anwendungen der 
Taylor sehen Formel sind die folgenden Bemerkungen im 
Auge zu behalten. 
1) Die Formel darf für alle Werte von x und h angesetzt 
werden, welche so beschaffen sind, daß x sowohl als x-\-h i n 
dem Intervall (a, ß) liegen, in welchem f(x) endlich ist und 
vollständige Differentialquotienten bis zur w-ten Ordnung ein 
schließlich besitzt. Betrachtet man x als fest, so sagt man, 
die Formel gelte für die Stelle x; h darf dann innerhalb ge 
wisser Grenzen variabel sein. 
2) Die Formel darf für jedes n angesetzt werden, wenn 
nur die eben ausgesprochenen Bedingungen bis zu diesem Ord 
nungsexponenten erfüllt sind. Für n — 1 reduziert sich die 
Taylorsche Formel auf 
fix + h) = fix) + C^ + eh) h, 
woraus 
fix + h) — f(x) = hf\x + dh), 
und dies ist der Ausdruck für den Mittelwertsatz (38, (2)). 
■) Liouville, Journ. de Mathem., Serie II, t. III.