Vierter Abschnitt. Reihen. 
227 
:ommt, ist also 
3) Bei den meisten Anwendungen ist h eine Größe von 
sehr kleinem Betrage, ein nahe an Null liegender echter Bruch, 
dessen steigende Potenzen rasch abnehmend der Null sich 
nähern; zur näherungsweisen Berechnung von f{x + h) aus 
die Taylorsche 
Ansehung des 
1t haben. Die 
ä und Cauchy 
p, erstere für 
f{x) und den Diiferentialquotienten genügen dann wenige 
Glieder von (6). Insbesondere läßt sich erweisen, daß h dem 
Betrage nach derart eingeschränkt werden kann, daß das Ver 
hältnis des Gliedes, bei welchem die Formel abbricht, zu dem 
darauffolgenden Restgliede dem absoluten Betrage nach eine 
beliebig große vorgeschriebene positive Zahl K überschreitet. 
In der Tat, soll 
1 . 2 • • • (n — 1) ^ 
/■W(aj+0Ä) in 
1-2 ■ ■ ■ n 1 
ie sich bis auf 
rlieder von (6) 
sein, so braucht h nur so gewählt zu werden, daß 
, „ i /■<"-«(*) j 
Sendungen der 
tnerkungen im 
und dies ist sicher erreicht, wenn man 
1 h 1 < WK 1 1 
md h an gesetzt 
hl als x-\-h in 
ndlich ist und 
i Ordnung ein- 
, so sagt man, 
i innerhalb ge- 
nimmt, wobei G den größten Wert bezeichnet, welchen 
| f( n \x + 6h) | in dem Intervalle (a, ß) erlangt. 
92. Die Taylorsche Reihe. Die Funktion f{x) sei nun 
solcher Art, daß sie in dem Intervalle (cc, ß) endlich bleibend 
vollständige Differentialquotienten aller Ordnungen besitzt. Die 
unendliche Reihe 
m + ~ lh + i P§ ¥ +--- 
werden, wenn 
zu diesem Ord- 
uziert sich die 
hat dann vermöge der Gleichung (6) den Grenzwert 
f(x-\- h) — hm R n , 
n~+co 
d. h. sie hat nur dann einen bestimmten Grenzwert und ist 
itz (38, (2)). 
somit konvergent, wenn lim R a eine bestimmte Größe A he- 
n= +00 
deutet, und zwar ist ihr Grenzwert dann f(x -(- h) — Aj er ist 
insbesondere f\x + h) selbst, wenn A = 0, d. h. wenn 
(9) lim B n = 0. 
»= +00 
wenn