Vierter Abschnitt. Reihen. 
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divergent ist (73, 1)) und die Zähler überdies beständig wachsen; 
infolgedessen divergiert auch das unendliche Produkt gegen 
die Grenze Null (78, 2)). 
Die Gleichung (10) gestattet, die Änderung f(x-\-h)—f(x) 
= welche die Funktion bei dem Übergänge von der 
Stelle x zu der Stelle x -f h erfährt, in Form einer konver 
genten Potenzreihe nach h auszudrücken: 
O 
=nx)h+»*+Q% v +■■■ 
und daher mit jedem gewünschten Grade der Annäherung zu 
berechnen; dieses Ziel wird um so rascher erreicht, je kleiner 
der Betrag von h ist. Unter der Voraussetzung eines sehr 
kleinen h sind die Produkte 
f\x)h, f"{x)h 2 , f"’(x)h 3 , . . . 
unter dem Namen des ersten, zweiten, dritten, . . . Differentials 
eingeführt und mit 
df(x), d 2 f{x), d 3 f{x), . . . 
bezeichnet worden (42); für 4f{x) ergibt sich dann die Dar 
stellung: 
(11) Jf{x) - df{x) + Vir + füs + ■ ■ • - 
welche den Zusammenhang zwischen der wirklichen Änderung 
der Funktion und ihren mit Ji gebildeten Differentialen der 
verschiedenen Ordnungen nachweist; sie gibt auch den ana 
lytischen Ausdruck für den Fehler, der begangen wird, wenn 
man df{x) durch df(x) ersetzt. 
Wenn f(a + li) die Taylorsche Entwicklung zuläßt, so 
vertritt das Restglied 
K = f {n) 0 + 0}l ) 
die Reihe 
l.n + 2 
entwickelt man f { ~ n \a + 6h) wieder in die Taylorsche Reihe, 
wofür die hinreichenden Bedingungen vorhanden sind, und