' f -*<= 
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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
setzt beide Entwicklungen einander gleich, so entsteht die 
Gleichung: 
Of{n+1) 4. yr + 2) ( a ) h + +3) (°0 + 
8! 
f {n + 1 \a) . f {n + 2) (a) 
+ 
Ä + 
/■ (w + 3) (a) 
¿ 2 4- 
w-fl ' (w -f- 1) (n + 2) (n -f- 1) (w -(- 2) (w -|- 3) 
welche zur Bestimmung von 9 zu dienen hätte. Nimmt man 9, 
das von h (und a) abhängt, in der Form 
9 = cc ßJi 
an, so gibt die Vergleichung der Koeffizienten gleicher Potenzen 
von h zu beiden Seiten der Gleichung: 
woraus 
ßf n + \a) + 
ß 
n + 1’ 
/*(« + 2)( a ) = 
/■ (n + 2) (a) 
(n + 1) (n -|- 2) 7 
f^ n + i \a) 
2(w+ 1) 2 (w + 2) f {n + l \a) ’ 
+ *)( a ) 4. ~ f(« + — /‘ ( ” + 3) (a) 
yf( n+1 \a) + «/3/’(” + -)(a) + 6 f {n + 5 \a) ( w 4.1)( w 4.2)(n4-3)> 
woraus 
_ w(6w + l)f {n + 1 \a)f {n + ^{a) — 3n (n + 3) {f (w + 2) (a)} 2 _ 
7 _ 6(» + l) 3 (n 4- 2) («4-3) ( /' (w + 1} (a) } 2 
Hiernach ergibt sich für das 9 des Mittelwertsatzes 38, d. i. 
f(a-{-h)= f(a) 4- f'ifl + 9h)h, 
da hier n = 1 ist, der Näherungswert 
fl = 1 1 O“) 7 i . rW^W-IT»} 2 ä* 
2 24 ' {/*"(«)} 2 48 
also beispielweise für f(x) — sin #, a = : 
n = h2 . 
2 24)/3 36 
93. Die Maclaurinsche Formel. Wenn das Intervall 
(a, /3), in welchem die Funktion f(x) die für die Tay forsche 
Formel (6) zureichenden Bedingungen erfüllt, auch den Wert 
x = 0 einschließt, so kann auch dieser zum Ausgangspunkte 
der Entwicklung gemacht werden; h als Variable betrachtet