Vierter Abschnitt. Reihen. 
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ist dann durch, das Intervall (a, ß) beschränkt und soll mit x 
bezeichnet werden. Mit diesen Veränderungen [x = 0 gesetzt 
und x für h geschrieben] nimmt die Formel (6) die Gestalt an: 
(12) rW-C(0) + i T ? *+T^ a;!+ " 
während gleichzeitig aus (7) und (8) 
f( n) (6x) 
1 • 2 • • • (n - 
14- 7? 
(13) 
(14) 
R = 
rflt 
1.2 • • • n 
f {n \dx) 
1-2 • ■ • (n — 1) 
(i - «)■ 
folgt. Die Gleichung (12) in Verbindung mit einer oder der 
andern der beiden letzten Gleichungen bezeichnet man als 
Maclaurinsche Formel. Ihr analytischer Inhalt fällt im Wesen 
mit jenem der Taylor sehen überein. 
Die Bedingungen des Ansatzes (12) fließen unmittelbar 
aus 91, 1) und lauten dahin, daß 0 und x in jenem Intervall 
(a, ß) gelegen sein müssen, in welchem f(x) endlich bleibt 
und vollständige bestimmte Differentialquotienten bis zur n-ten 
Ordnung einschließlich besitzt. 
94. Die Maclaurinsche Reihe. Wenn die Funktion f(x) 
in dem Intervall (0, x) endlich ist und daselbst vollständige 
bestimmte Differentialquotienten aller Ordnungen besitzt, und 
wenn überdies das Restglied R n mit wachsendem n der Grenze 
Null sich nähert, so gilt der Ansatz; 
(i6) f{x)=m + - f ^p-x + ^x !! +---, 
welchen man als Maclaurinsche Reihe bezeichnet. 
Im Hinblick auf die 89 festgestellte Tatsache kann der 
Satz ausgesprochen werden: Wenn eine Funktion fix) in eine 
nach x fortschreitende Rotenzreihe entwickelbar ist, so ist sie es 
nur auf eine Art und diese Entwicklung ist die Maclaurinsche. 
Dem Wesen nach lösen die Taylorsche und die Mac 
laurinsche Reihe die nämliche Aufgabe*): die Entwicklung 
*) Die nachmals zu einem Fundamentalsatz der Differentialrechnung 
gewordene Taylorsche Reihe findet sich zum erstenmal in Brook 
Taylor’s Methodus incrementorum directa et inversa, London 1715. Der 
Fall a: = 0 ist zuerst von Colin Maclaurin in dem Werke Treatise of 
fluxions, Edinburgh 1742 benutzt und später nach ihm benannt worden.