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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
einer Funktion in eine Potenzreihe; die erstere leistet dies an 
einer beliebigen Stelle des Intervalls (cc, ß), die letztere nimmt 
die Null zum Ausgangspunkte. 
In den folgenden Artikeln werden wir uns mit der Ent 
wicklung einiger elementaren Funktionen in Potenzreiben nach 
der Variablen x befassen und in diesen Reiben zunächst ein 
Hilfsmittel erhalten, die Werte dieser Funktionen für jeden 
zulässigen Wert der Variablen mit jedem gewünschten Grade 
der Genauigkeit zu berechnen. In diesen Reihenentwicklungen 
ist eine bedeutsame Erweiterung der Punktionslehre zu er 
blicken, indem sie gestatten, auch die Berechnung der trans 
zendenten Funktionen, die bisher nur formal definiert worden 
waren, auf die arithmetischen Operationen zurückzuführen. 
95. Exponentialreihen. Die natürliche Potenz cff ist 
eine Funktion, deren n-ter Differentialquotient für jedes 
n = 1,2,... ihr seihst gleichkommt (41, 3)), mit ihr zugleich 
stetig bleibt für jeden endlichen Wert von x, und für x = 0 
den Wert 1 annimmt. Da ferner das Restglied 
bei jedem endlichen Werte von x mit wachsendem n gegen 
Null konvergiert (92), so gilt für jedes x der Ansatz: 
(17) 
Aus der in BO begründeten Darstellung der Zahl e durch 
einen Grenzwert, nämlich: 
x 
lim (1 -f- s) e = e, 
ergibt sich auch eine Darstellung von e x als Grenzwert. Er 
hebt man nämlich zur Potenz x und führt links die Potenzierung 
unter dem Limeszeichen aus, was wegen der Stetigkeit der 
Potenz statthaft ist, so entsteht zunächst 
X 
lim (1 -f- e) * = e® 
und setzt man — = (o, so wird lim o = oo, daher 
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(17*)