Vierter Abschnitt. Reihen. 
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Setzt man in (17) x = 1, so ergibt sieb eine unendliche 
Reihe zur Berechnung der Zahl e seiht (30), nämlich 
*"l + T + JTs+ “■ 
Aus dieser Darstellung von e läßt sich die Stellung dieser 
Zahl im Bereiche der reellen Zahlen näher kennzeichnen. Zu 
nächst ist e keine rationale Zahl; bricht man nämlich bei dem 
(n -f- l)-ten Glied ab, so ist der Rest 
1 • 2 
< 
{n + l) 
l 
+ iT2tt: 
tri + 
{n + 2) 
+ 
1 • 2 
also jedenfalls 
1-2 • ■ ■ n \n -f- 1) (n -j- 2) 
— (— 1 1 1 
n \n -)- 1 {n -f- 1) 
\ + 
+ 
r, = 
0 
1 • 2 
1 ■ 2 • • • n • n 
(0 < e < 1) 
n 
wäre nun e = — ein irreduzibler rationaler Bruch, so folgte aus 
1 =1+ v 
q 1 
1 ■ 2 
+ ••• + 
1 • 2 • • ■ q 
+ . 
' 1 • 2 •••(?• 
q-q 
die weitere Gleichung 
P 
-1 
1 
1 • 2 
1-2 ■ ■ ■ q 1-2 • • ■ q - q ’’ 
deren linke Seite sich nach Multiplikation mit 1 • 2 • • • g in 
eine ganze Zahl verwandelt, während die in gleicher Weise 
abgeänderte rechte Seite ^ weder Null, noch eine ganze Zahl 
sein kann. Dieser Widerspruch bezeugt die Unzulässigkeit der 
Annahme e = — • Es gehört also e zu den irrationalen Zahlen, 
nimmt aber auch unter diesen eine besondere Stellung ein 
Gh. Hermite hat nämlich den Nachweis geführt, daß es keine 
algebraische Gleichung irgend welchen Grades mit rationalen 
(also, wie man immer annehmen kann, ganzen) Koeffizienten 
gibt, welche durch die Zahl e befriedigt wird*); man nennt 
*) Früher schon hatte Liouville den Beweis hierfür in bezug auf 
eine quadratische Gleichung geführt wie folgt: gäbe es ganze Zahlen 
a, ß, y, für die 
also auch 
a« 2 -(- ße -j- y = 0, 
ore-j-ye -1 -f-ß = 0