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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
Zahlen dieser Eigenschaft transzendente Zahlen, zum Unter 
schiede von den algebraischen Zahlen, denen die eben der Zahl e 
ahgesprochene Eigenschaft zukommt. 
Bringt man in der Gleichung (17) xla an die Stelle von 
x, unter a eine positive Zahl verstanden, so ergibt sich wegen 
e xla = a x die Entwicklung für die allgemeine Exponential 
funktion : 
(19) 
welche ebenfalls für jeden Wert von x Geltung hat. Aus 
diesem Ansätze folgt 
a x —1 7 x(la) 2 . x 2 (la) s 
-^ = la + -rl + IVä + "-i 
vermöge der Stetigkeit konvergiert die rechtsstehende Potenz 
reihe bei lim x = 0 gegen den Grenzwert la, somit ist 
aus dieser Formel folgt mit der Substitution x = — : 
° z 
lim s (ya — l) = la. 
(21) 
Z — oo 
96. Trigonometrische Reihen. Die Funktionen sin x 
und cos x sind ebenso wie ihre n-ten Diiferentialquotienten 
sin (x + n y) , cos (x + n («, (7), (8)) auf dem ganzen Ge 
ist, so hätte man nach Einsetzung der für e und e -1 aus (17) und (16) 
gebildeten Werte: 
1 ‘1-2 '1-2 ■■■in — 
0, 6' bedeuten positive echte Brüche. Multipliziert man diese Gleichung 
mit 1-2 ■ ■ ■ {n— 1), so nimmt sie im wesentlichen die Gestalt 
,-e' 
ae e -f- (— l) w ye‘ 
n 
an, wobei u eine ganze Zahl darstellt; <x kann immer als positiv vor 
ausgesetzt und n so gewählt werden, daß auch (— 1 ) n y positiv und die 
linke Seite ein beliebig kleiner positiver echter Bruch ist. Hierin liegt 
ein Widerspruch, der seinen Grund in der Annahme hat, es könnte 
cce 2 -\-ße-{-y — 0 sein.