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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
Diese stets alternierende Reihe zeigt, daß 
cos#|< 1 — 
I COS X | < 1, | COS X | > i 1 — - 
bleibt man bei dem Gliede 
(— ly — 
steben, so kann das Restglied in der Form 
+ „2 P + 2 = (_ +1 
+ — 
^ 24 > ’ 
R 
2p + 2 1.2 • • • (2_p-f 2) ~ V 1 
cos 6x 
2 • • • (2p 4- 2) 
1)* COS cc. 
x 2j) + ‘. 
geschrieben werden, weil cos (a + ktc) = (- 
97. Logaritbmiscbe Reihen. Die Funktion Ix selbst 
ist in eine nach x fortschreitende Potenzreihe nicht entwickel 
bar, weil sie für x = 0 unstetig wird. Wir legen uns daher 
die Funktion f(x) = 1(1 -f- x) vor, welche für alle — 1 über 
schreitenden Werte von x stetig bleibt wie auch ihr n-ter 
Diiferentialquotient, der sich aus 41, (4) ergibt: 
nu)( x \ _ (~ 1)” ~ 1 1 • 2 • • • (n - 1) 
/ w- (1 + «)» 
Da f{0) = 0 und /-W(O) = (- l)«- 1 1 . 2 • • ■ (n - 1), so 
hat man 
rp rp 2 rp 3 
(24) Z(l + *) = f-f + \ 
für alle Werte von x, für welche das Restglied der bei 
(— l)rc~ 2 ^_ 1 abgebrochenen Reihe, d. i. 
R = 
(-i r 
oder = 
(— 1)” _ 1 (1 — Q) n ~ x x n 
w( l + dx) n (1 +6x) n ’ 
je nachdem man sich an die Form (13) oder (14) in 93 hält, 
mit wachsendem n gegen Null konvergiert. 
Das Konvergenzintervall der Reihe (24) ist aus 84 be 
kannt; es ist durch — 1 und -f- 1 begrenzt und an seiner 
oberen Grenze findet noch bedingte Konvergenz statt; nur auf 
dieses Intervall braucht also die Untersuchung des Restgliedes 
erstreckt zu werden. Für 0 < x <( 1 zeigt die erste Form 
x 
in welcher 
1 -j- Qx 
sicher 
ein 
+ 035/ 
echter Bruch 
ist*), daß 
*) Denn 0 kann weder 0 noch 1 sein.