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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
und die letzte Gleichung gibt 
insbesondere für z = 1 
Formel (25) gestattet, mit Hilfe von la den Logarithmus jeder 
anderen Zahl zu berechnen-, (26) ist geeignet, die natürlichen 
Logarithmen der aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen zu 
bestimmen; insbesondere gibt sie für a = 1 
eine Reihe, die viel rascher konvergiert als die oben für 12 
angegebene alternierende Reihe. Bei wirklicher Ausrechnung 
einer Logarithmentafel würde man selbstverständlich nur die 
Logarithmen der Primzahlen direkt bestimmen und aus ihnen 
durch Addition die Logarithmen der zusammengesetzten Zahlen 
ableiten. 
Um aus den natürlichen Logarithmen die gemeinen zu 
gewinnen, bedarf es der Multiplikation der ersteren mit dem 
Modul M = —- (30). Für 110 ergibt sich auf folgende Weise 
eine Bestimmung durch unendliche Reihen. Setzt man in (25) 
a = 2 10 = 1024, z = ~ 24 
so ergibt sich mit Rücksicht auf die für 12 soeben gefundene 
Reihe die Gleichung 
2 
3 
in welcher die zweite Reihe so rasch konvergiert, daß ver 
hältnismäßig nur sehr wenige Glieder zur Erzielung einer vor 
gegebenen Annäherung erforderlich sind. Bei einer auf 6 Dezi 
malen angelegten Rechnung hat man: