Erster Teil. Differential-Rechnung. 
den Fall, daß m eine positive ganze Zahl sei, aus und setzt a 
sowohl als a + z positiv voraus, so hat F(z) bei jedem m auch 
einen positiven reellen Wert und dieser läßt sich als Produkt 
der reellen Faktoren 
darstellen, wovon nur der zweite veränderlich ist. Wird — =x 
gesetzt, so handelt es sich also um die Entwicklung von 
f(x) = (1 -(- %) m - 
Laut 41, (2) ist 
f( n \x) = m (m — 1) . . . (m — n -j- 1) (1 -f- x) m ~ n , 
fi0) = 1, /’W(O) = m {m — 1) . . . {m — n -f- 1); 
hiermit liefert die Maclaurinsche Reihe die Entwicklung 
m (m — 1) x 2 _j_ m i m — 1) i m - 
— X A -j- 
(27) (l + i t)”-l+ T „ , 1-s - , ,.¡,.3 
welche man als Binomialreihe oder binomische Reihe bezeichnet. 
Für ihre Koeffizienten, die Binomialkoeffizienten, sind ver 
schiedene Abkürzungen im Gebrauch, so m x , m 2 , m 3 , . . . oder 
(T)’ Cs); Cs); • • • u. a. Es erübrigt noch, den Geltungsbereich 
dieses Ansatzes festzustellen. 
Zunächst ist das Konvergenzintervall der Reihe zu be 
stimmen; schreibt man sie in der allgemeinen Form a 0 + a 1 x 
-f n 2 £ 2 + • • •, so ist 
mim — 1) • • • im — n-\-1) m(m — 1) • • • (m — n) 
= — ~r~ 77 — —, =m„ 
infolgedessen 
lim 
11 = + 00 1 ® n _|_ 1 
v n +1' 
M + 1 
I n -f- 1 
m — n 
daher (—1, +1) das Konvergenzintervall (84). Kur auf dieses 
braucht die Untersuchung des Restgliedes beschränkt zu wer 
den, das sich in den Formen: 
R = 
R„ = 
(1 + 6xY 
bF.v (T-Ar- (! - +«*) 
m — n /vtn 
darstellen läßt.