Vierter Abschnitt. Reihen. 
241 
I. Ist | x | < 1, so zerlege man das Restglied in seiner 
zweiten Form in die Faktoren 
(1 + dx) r 
(i 
1 — Q \ rc-! 
+ 6x) ’ 
Pn = 
m (m — 1) • • • (m — n 1) 
1 • 2 •••(»,-■ 1) 
der erste hängt von n nicht ah und hat einen endlichen Wert; 
der zweite konvergiert gegen die Grenze Null, weil, gleich 
gültig, ob x positiv oder negativ, ein echter Bruch ist; 
es bleibt also noch zu untersuchen, wie sich der Faktor p n bei 
beständig wachsendem n verhält. Erhöht man in diesem Faktor 
n um eine Einheit, so wird 
also ist 
Pn + i n 
P n + i in — n 
Pn ~ n 
%P,r. 
x: 
mit wachsendem n nähert sich die rechte Seite der Grenze 
— x\ folglich muß sich zu einer positiven Zahl q, welche der 
Bedingung | x | < q < 1 genügt, ein Zeigerwert v bestimmen 
lassen derart, 
daß Pn -^- 
1 Pn 
1 1 
1 
< <1, 
solange n 
> v] infolgedessen 
ist also 
1 Pv + l 1 
< 
1 p v \q. 
\Pv + 2 1 
< 
\Pv + 1 
\q<\p v \ 
q 2 
\Pr + 3 1 
< 
1 Pv + 2 
k<bJ 
q 3 , 
die Reihe 
liWl I + I Pv + 2 ! + \Pv + S I 4 
daher konvergent, weil eine fallende geometrische Reihe als 
ihre Majorante nachgewiesen ist; daraus folgt 
lim p n — 0. 
n— +00 
Daher ist auch lim B n = 0 und der Ansatz (27) bei 
71 = +00 
jedem m gültig, solange \x \ <1. 
II. Für x = 1 zerlege man das Restglied in seiner 
ersten Form in die Faktoren 
(! + »)", (TT«r n --(~ i y- r 
Czubor, Vorlesungen. J. 3. Anfl. 
— m-\-l 
2 
— m-\-n — 1 
n 
i 
16