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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
groß, so daß n zwischen 3,141592672 und . . . 588 liegt; auf 
6 Stellen abgekürzt ist daher 
jr = 3,141592. 
Der Beweis, daß die Zahl % ebenso wie die Zahl e eine 
transzendente Zahl ist (95), gelang erst in jüngster Zeit (Lin 
dem ann).*) Damit war auch dargetan, daß die Aufgabe der 
Verwandlung eines Kreises in ein gleich großes Quadrat, die 
Quadratur des Zirkels, mit Lineal und Zirkel nicht gelöst 
werden kann. 
2) Zur Entwicklung der Funktion 
f{x) = arc sin x 
bedienen wir uns eines Verfahrens, von dem in früherer Zeit 
bei der Potenzreihenentwicklung vorgelegter Funktionen haupt 
sächlich Gebrauch gemacht wurde, ehe noch die Methode der 
unbestimmten Koeffizienten, auf der es beruht, streng begründet 
war. 
FVenn eine Entwicklung existiert, so hat sie die Form: 
arc sin x = a x x -f a 2 x 2 -f a s x 3 + • • •, 
weil arc sin 0 = 0 ist (33, 1)), und weiter gilt (88): 
= = la i -\- 2a 2 x -f- 3a 3 x 2 + • • •; 
j/l — x i 
beide Reihen haben denselben Konvergenzbereich; andererseits 
ist auf Grund von 98 für ¿r 2 < 1: 
1 i 4. J_ r 2 4. 11 3 j_ 1-3,5 ^0 j_ 
yriT^ ~ 1 + 2 * + 2-4 X + 2T4V5 X + • • • > 
die beiden letzten Gleichungen haben zur notwendigen Folge (89): 
«2«=0, (w= 1, 2, ...); 
1^1 — 1, 3a 3 — 2 , 5a 5 —(2w-|-l)a 2n + 1 
1-S...(2n—1) 
2 • 4 . . . (2 n) * 
woraus 
l 
a i= J 
_ 1 1 _ 1 3 1 
«3 2 3 ^ ^5 2 4 5 
a 
_ 1 • 3 . . .(2n— 1) 1 
'2« + i — ' 2 ■ 4. . . (2 n) “ 2n+t 
s ) Mathematische Annalen, 20. Bd. (1882).