8 Erster Teil. Differential-Rechnung. 
Wir kehren nun zu dem obigen Beispiel zurück, bei dem 
nicht die Gesamtheit der rationalen Zahlen, sondern bestimmte 
unbegrenzt fortsetzbare Folgen rationaler Zahlen in Betracht 
kommen. Jede der Zahlenreihen (6) und (6') kann als Definition 
für die Zahl angesehen werden, welche die Lösung der Auf 
gabe bildet, und zwar in 'dem Sinne, daß zwar keine der 
Zahlen a n , beziehungsweise d n die Forderung erfüllt, zum 
Quadrat erhoben die Zahl A zu geben, daß sie dieser Forde 
rung jedoch um so genauer nachkommen, je weiter man in 
den Reihen fortschreitet, so daß schließlich der Unterschied 
zwischen A und a w 2 , beziehungsweise zwischen a n 2 und A T 
kleiner wird und bei weiter zunehmendem n kleiner bleibt als 
eine beliebig kleine festgesetzte positive Zahl s. In diesem Sinne 
kann man auch sagen, die Zahl, welche die Lösung der Auf 
gabe yA gibt, sei der Grenzivert der Zahlenreihe (6) oder der 
Reihe (6'). 
Von dem besonderen hier betrachteten Falle abstrahierend 
sagt man von einer Aufgabe, welche zwei Folgen von ratio 
nalen Zahlen 
«07 «37• «27 • • • 
«07 «1 7 «27 • • • 
derart voneinander scheidet, daß jede Zahl der einen Folge 
kleiner ist als jede Zahl der andern Folge, daß ferner zu 
einer beliebig kleinen im voraus gewählten positiven Zahl e 
zwei Zahlen aus den beiden Folgen sich bestimmen lassen 
derart, daß ihr Unterschied kleiner ist als e, sie bestimme 
einen Schnitt und diesem Schnitte entspreche eine Zahl. Jeder 
der beiden Folgen kommt die Eigenschaft zu, daß bei be 
liebig kleinem s sich n derart bestimmen läßt, daß der Unter 
schied a n + v — a n , beziehungsweise a n + v — d n dem Betrage nach 
kleiner ist als s für jedes v (= 1, 2, . . .). Eine Folge von 
Zahlen dieser Eigenschaft bezeichnet man als Zahlenreihe oder 
Fundamentaireihe*) und betrachtet sie als Definition eben der 
selben Zahl, welche vorhin dem Schnitt zugeordnet war. Ge 
hört diese Zahl nicht dem System der rationalen Zahlen an, 
*) E. Heine, Elemente der Funktionentheorie. Journ. f. Math. 74 
(1872). — G. Cantor, Mathemat. Annalen 5 (1872) und 21 (1883).