Vierter Abschnitt. Reihen. 251 
da schließlich vermöge (37) und (36) 
F(s + 04 s) = f[x Q 4- (ß + 04 s) cos (p, y 0 + (s + 04 s) cos 
= fix + Oh, y -f 0 k), 
so ist 
(40) FW(s + 64s) 4s n = h + kJf{x + Oh, y + 0k). 
Trägt man die Werte aus (37), (39) und (40) in (38) 
ein, so ergibt sich: 
fix + h,y + k) = fix, y) + Y {jx h + Fy ]i ) ^ 
+ 1T2 {L hJr h l ) f( x * + 
+ (Ä h + ^ ]c ) f( x > y) 
+ FTirrrrn (Ä h + WZ l ) + 6h ’ y + °ty- 
(41) 
Dies ist die Taylorsche Formel für die Funktion fix, y). Zu 
reichende Bedingungen für ihre Gültigkeit bestehen darin, daß 
die Funktion fix, y) in einem Intervalle auf M 0 (S), das die 
Wertverbin düngen x/y und x + h/y -f k einschließt, eindeutig 
und endlich ist, und daß alle partiellen Differentialquotienten 
bis zur w-ten Ordnung einschließlich in dem genannten Inter 
vall vorhanden, die der letztgenannten Ordnung auch stetig sind. 
Gehört die Stelle x = 0/y = 0 dem Gebiete P an, auf 
welchem die Funktion f\x, y) gegeben ist, so kann sie zum 
Ausgangspunkte der Entwicklung genommen werden; ersetzt 
man dann h, k, um sie als variable Größen zu kennzeichnen, 
durch x, y, so geht die Formel (41) über in: 
f( x , y) - /'(°’ °) + t o) 
(42) 
+ ïF..7« [tx x + f-yvfw*’ 9 »)< 
die Maclaurinsche Formel für fix, y).