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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
hiernach ist 
d. h. 
e* • e z ' = e z 
Die natürliche Potenz erfüllt also, wenn man ihr die Definition 
(11) zugrunde legt, das Gesetz, welches die Arithmetik für 
Potenzen gleicher Basis und mit reellem Exponenten nach 
weist, auch für komplexe Exponenten, sie erfüllt es also ganz 
allgemein. 
Daraus folgt 
Q z = * + iy (fß'y • 
vermöge der Definition (11) ist aber 
wegen der beständigen absoluten Konvergenz dieser Reihe sind 
notwendig auch die Reihen 
y 
1 • 2 • 3 • 4 
V _ y 3 , 
1 1-2 • 3 
y 
1 • 2 • 3 • 4 • 5 
beständig und absolut konvergent; als solche sind sie bereits 
in 96, (22) und (23), erkannt und cosy, respektive sin?/ als 
ihre Grenzwerte erwiesen worden; mithin ist 
(12) 
e iy = cos y -(- i sin y 
und 
(13) 
e K+iy = e*(cos y -f- i sin y). 
Die erste dieser beiden Formeln ist von Euler*) nach ihrer 
hohen Bedeutung für die Analysis gewürdigt worden. Formal 
gestattet sie, das Moivresche Binom cos cp -j- i sin cp in Form 
einer natürlichen Potenz mit imaginärem Exponenten, dar 
zustellen. 
Ändert man in (12) y um unter x eine positive oder 
negative ganze Zahl verstanden, so ändert sich die rechte Seite 
*) Introductio in Analjsin infinitorum, 1748; deutsch von F. Maser, 
Berlin 1885.