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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
soll jede komplexe Variable w = u + iv verstanden werden, 
die für alle Werte von x, y die Beziehung 
e w = z 
erfüllt; mit andern Worten, wie bei reellen Variablen soll der 
natürliche Logarithmus die Umkehrung der natürlichen Potenz 
sein. Zu seiner Bezeichnung diene dasselbe Symbol Iz wie 
bei reellen Variablen. 
Aus 
e w = e u+lv = e“(cos v -(- i sin v) = x -f iy 
folgt aber nach dem Grundsätze, daß zwei komplexe Größen 
nur dann gleich sind, wenn die rellen Bestandteile und die 
Koeffizienten von i beiderseits übereinstimmen, daß 
e u cos v = x 
e u sin v = y, 
daraus ergibt sich für den Modul von e w , d. i. für e u , der Wert 
ferner 
e u = | ]/x 2 + y 2 , 
woraus u = l ]/x 2 + y 2 ; 
cos v — 
sm« = 
tg V = — ; 
ö x ’ 
bezeichnet also Are tg —■ jenen einzigen Bogen aus dem Inter 
valle (0, 27t), dessen Tangens den Wert --- hat und dessen 
Kosinus, Sinus beziehungsweise mit x, y dem Zeichen nach 
übereinstimmen, so ist 
v = Arctg — + 2%it, 
° x ’ 
wobei x jede positive und negative ganze Zahl mit Einschluß 
der Null bedeuten kann. 
Nachdem so die Elemente von w durch jene von z dar 
gestellt sind, hat man: 
(16) l{x + iy) = l' ]/x 2 + y 2 4- ¿Are tg + 2xTti. 
Der natürliche Logarithmus einer komplexen Variahein ist dem 
nach eine unendlich vielwertige Funktion, und aus einem seiner 
Werte ergibt sich jeder andere durch additive Hinzufügung eines 
entsprechenden Vielfachen von 2jti. 
Den zu x == 0 gehörigen Wert bezeichnet man als Haupt 
wert mit dem Symbol Tz, so daß Iz = Tz + 2xn.