Vierter Abschnitt. Reihen. 
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Dieses Verhalten ist die notwendige Folge der Periodizität 
der natürlichen Potenz, aus welcher der natürliche Logarithmus 
durch Umkehrung hervorgeht (33). 
Weil die komplexe Variable auch die reelle und die rein 
imaginäre umfaßt, so gilt der eben ausgesprochene Satz auch 
für diese. 
Ist y = 0, so ist Are tg —■ entweder = 0 oder = n, je 
nachdem x > 0 oder x < 0; man hat also für den allgemeinen 
Logarithmus einer reellen Zahl x die Ansätze: 
für x >■ 0 Ix = Tx -f 2üTti 
für x <C0 Ix = T \ x \ -{- (2% -j- 
wobei Tx, bzw. T\x\ den Logarithmus im gewöhnlichen arith- 
metrischen Sinne bedeutet. 
Die erste dieser Formeln zeigt, daß sich unter den un 
endlich vielen Werten des natürlichen Logarithmus einer posi 
tiven reellen Zahl ein einziger reeller Wert befindet, eben der 
Hauptwert; dieser ist es, den man gewöhnlich mit Ix bezeichnet. 
Aus der zweiten Formel geht hervor, daß die Werte des Loga 
rithmus einer negativen reellen Zahl wie die einer komplexen 
Zahl sämtlich imaginär sind. 
Es mag noch die einfache Gestalt der Formel (16) an 
geführt werden, welche sich bei trigonometrischer Darstellung 
von z ergibt. Ist £ = r(cos(jp + fsinqp), so hat man: 
Iz = lr -j- icp 4- 2%ni. 
Bei der Abbildung von w = Iz entsprechen jedem Punkte 
der ¿-Ebene unendlich viele (äquidistante) Punkte der w-Ebene. 
107. Trigonometrische Funktionen. Zur Definition 
der trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus sollen 
bei komplexem Argument dieselben beständig und absolut 
konvergenten Potenzreihen genommen werden, welche sich in 
96, (22) und (23), bei rellem Argument für diese Funktionen 
ergeben haben. Bezüglich der anderen Funktionen sollen die 
nämlichen Beziehungen gelten, wie bei reellem Argument, also 
tg£ = ^ usw. Wir wollen zeigen, daß dies auf das näm 
liche hinauskommt, wie wenn man die Formeln 105, (15) als 
allgemein geltende Definitionen festgelegt hätte.