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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
In der Tat folgt aus (11): 
-I —- - 
~ 1 • 2 • 3 • 4 
1 • 2 • 3 • 4 • 5 
iz‘ 
und hieraus durch Addition und Subtraktion: 
e iz -\-e~ iz 1 s 2 
2 " 1-2 ' 
1■2■3 -4 
z 
1 
—i L 
1 • 2 • 3 ' 
1 • 2 • 3 • 4 • 5 
Z' 
nimmt man also die rechtsstehenden Reihen, die mit jenen 
96, (23), (22) übereinstimmen, als Definitionen für cos 3 und 
sin z, so ist auch 
ÌZ I i z 
6 —6 
COS£ = 
2 
(17) 
e" — e 
Da die natürliche Potenz periodisch ist mit dem Modul 2iti, 
so daß e** + 2*Äi_ e »'(»+ 2 **)_ giz, g0 s i nc [ Funktionen cos 3, 
sin z ebenso wie die gleichnamigen Funktionen der reellen 
Variablen periodisch mit dem Modul 2%. 
Ist 3 rein imaginär, 3 = ix, so geben die Formeln (17) 
= cosh x 
cos %x — 
(18) 
sin ix = i 
= i sinh x 
so daß der Kosinus einer rein imaginären Variablen reell, der 
Sinus rein imaginär ist. Durch diese Formeln ist zugleich 
der Zusammenhang zwischen den Kreis- und den Hyperbel- 
funktionen (34) hergestellt. 
Ist 3 komplex = x iy, so hat man nach (17): 
cos (x -j- iy) 
~ y + e~ ix • _ je ix + e~ ix ) {(^+e~ v ) - (e ix - e~ ix ) {e y - e~ y )