Vierter Abschnitt. Reihen. 
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mit Beachtung dev Formeln (15) und (18) gibt dies; 
cos (# + iy) = cos x cos iy — sin x sin iy 
sin (# + iy) = sin X cos iy + cos# sin iy, 
Formeln, welche völlig dem für reelle Bögen geltenden Addi 
tion stheorem entsprechen; in der Form geschrieben: 
cos (# + iy) = cos# cos hy — i sin x sinh y 
sin (# -f- iy) = sin x cos hy -f- i cos# sinh y 
An 
lassen sie die linksstehenden Funktionen unmittelbar als kom 
plexe Größen erscheinen. 
Der Kosinus und der Sinus einer komplexen Variablen sind 
demnach eindeutige periodische Funktionen mit dem Modul 2 7t. 
Wegen der Periodizität genügt es, 
um den ganzen Verlauf dieser Funktionen 
kennen zu lernen, dem z als Gebiet einen 
Streifen der Ebene zuzuweisen, welcher 
von der y-Achse und einer zu ihr par 
allelen Geraden im Abstande 2 7t begrenzt 
ist (Fig. 21). Teilt man die ganze Ebene 
in derlei Streifen, so wiederholen sich in 
jedem derselben die Werte aus dem erst 
gedachten Streifen derart, daß cos z' = cosz, 
sinz = sinz, wenn zz'\\XX' und zz'—27t oder einem Viel 
fachen davon. 
108. Zyklometrische Funktionen. Als Arcustangens 
einer komplexen Variablen z — x -f iy werde jede komplexe 
Zahl iv = u + iv bezeichnet, die der Bedingung; 
tg w = z 
genügt. Mit Benutzung der Gleichungen (17) führt dies zu 
Y 
Fig. 
21. 
f 
Z' 
0 
/7 >i 
X 
Y 
X 
der Gleichung 
aus welcher zunächst 
und weiter 
l 10 — l w 
1 e™ — e 
i e lw + e 
= 
= IZ 
e* lw -\-1 
*2 iw = 1 + iz 
e 1 — iz