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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
folgt, so daß sich für w die Bestimmung: 
1.1 -J- iz . 
tv = I — . = Are tg z 
2» 1 — iz ° 
ergibt; dadurch ist die Lösung der Aufgabe auf die Bestim 
mung des natürlichen Logarithmus einer komplexen Variablen 
zurückgeführt, die in 106 erledigt worden ist. Es ist 
2x 
a 8 + (i + yf 1 
der Modul hiervon die positive Quadratwurzel aus 
(1—x 2 — y 2 ) 2 -}- 4x 2 (1 -f- x 2 -f- y 2 ) 2 —4y 2 ¿c 2 —(— (1 — y) 2 
{+ (1+ y) 2 }* {* 2 + (1 + 2/) 2 } 2 = a: 2 + (1 + W 5 
daraus ergibt sich auf Grund von 106, (16): 
und hiermit 
Are tg (x + iy) 
Sinus, Kosinus im Vorzeichen mit 2x, 1 — x* — y 2 respektive 
übereinstimmen. 
Der Arcustangens einer komplexen Variablen ist demnach 
eine unendlich vieldeutige Funktion; aus einem seiner Werte 
ergibt sich jeder andere durch additive Hinzufügung eines ent 
sprechenden Vielfachen von %. 
Als bevorzugter Wert soll jener gelten, der k = 0 ent 
spricht, und als Hauptwert mit arctg z bezeichnet werden; es 
ist dann Arctg z = arctg z -f- x tt. 
Die andern zyklometrischen Funktionen führen ebenfalls 
auf den natürlichen Logarithmus zurück. Auch wenn w eine 
komplexe Zahl ist, gilt nämlich vermöge (17) die Gleichung: 
e iw = cos w -f- i sin w, 
w = * l (cos tv + i sin w)- 
woraus