Vierter Abschnitt. Reiben. 
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BHB 
Zähler und Nenner werden also für lim x = a von derselben 
Ordnung unendlich klein wie x — a, daher ist 
t n ~ 1 / n 
l / X = n. 
aj" , - 1 +aaj ,B - 8 + 
x n ~ 1 J r ax n ‘ 
/Ta) — lim f(x) = 
/W /W \x n ~ i -\-ax n -‘ + f«' 
Ist ic = 0 die kritische Stelle und sind cp{x), ^(x) in 
Potenzreihen entwickelbar, so können diese Reihen ein von x 
freies Glied nicht enthalten (85, Schluß); es sei daher: 
cp{x) = a 0 x m -[- a i x m + 1 -\- a 2 x m + ‘ 2 4 • • • = x m {a 0 -\- a x x -j- • • •), 
ip{x) = b 0 x n + h 1 x n+1 + \x n + ^ -)-••• = x n (h 0 + \x + • • •); 
für limrr = 0 werden jetzt cp{x), ty{x) in bezug auf x selbst 
unendlich klein von der w-ten, bzw. von der w-ten Ordnung 
und man hat nun drei Fälle zu unterscheiden: 
. . x m 
a) für m > n ist lim — = 0, daher 
*=o x n 
m 
lim == 0; 
b) für m < n ist lim — == oo (-f- oo bei geradem n — m, 
x=o x" 
bei ungeradem n — m links — oo, rechts -f- oo), also 
c) für m = n endlich erhält man 
/•(0) - lim - v 
' W * = 0 ^(®) h o 
Zur Erläuterung dieses Verfahrens mögen folgende Bei 
spiele dienen: 
1) Für x = 0 nimmt 
n , \ x — sin« 
f O) = —^— 
0 
die Form — an; es ist aber 
x — sin x — x — (x — 
x° 
1 • 2 ■ 3 
x h 
daher 
1-2.3 
1 • 2 • 3 • 4 • 5 
4- — 
' 1 • 2 • 3 • 4 • 5 
R H 5 
f(0) = lim f(x) = — ■ 
x = 0