Vierter Abschnitt. Reihen. 
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Zu einem allgemeinen Verfahren der Grenzwertbestimmung 
von Quotienten, deren Zähler und Nenner für x = a gleich 
zeitig Null werden, führt die Differentialrechnung. Ange 
nommen, die Funktionen cp (x), besitzen in einem be 
liebig engen, a und a + h enthaltenden Intervalle stetige 
Differentialquotienten m- ter, bzw. n~ter Ordnung, so können 
cp(a-\-h) und ib(a-\-}i) nach der Taylorschen Formel (91) 
wegen <p{a) = 0, = 0 wie folgt entwickelt werden; 
+ ä) = <p'(«)>* + Vf V+ ■ ■ ■ + h m (0 < »' < 1) 
*{a + h.) - *'(») h + Vf V+ ■■• •■ + ll " (° < °"< !)• 
Wenn nun cp\d) 4= 0 und tp'(a) 4=0, so werden rp{a-\-li), 
rl>(a -\- Ji) mit Ji zugleich unendlich klein von erster Ordnung, 
und man hat 
(2) 
f{d) = lim 
A = 0 
Ist hingegen 
qp {a -f- h) 
ip{a + h) 
<3P>0 .*", 
^ (fl) ‘ > 
cp'{a) — 0 und auch weiter noch y"{a) = 0, . . . (p { - m ~ 1 \a) = 0, 
aber cp^(a) =f= 0, 
ip'(a) = 0 und auch weiter noch ip"(d) = 0, ... ^ n ~ 1 '>(a) = 0, 
aber if/( n \a) =(= 0, 
und bleiben die letzten Beziehungen auch in dem Intervalle 
(a, a + h) bestehen, so wird 
qp(q -f- h) 1 ■ 2 .. . nh m qp^(a -j- d'h) 
if> (a -f- h) 1-2 ...mh n V n \a + 6"h) ’ 
unter diesen Voraussetzungen wird also cp{a-\-h) für lim/i = 0 
in bezug auf h unendlich klein von der m-ten, ijj(a -f- h) von 
der w-ten Ordnung; danach ist 
*) Die in diesem Ansätze enthaltene Regel hat Johann Bernoulli 
zuerst gefunden. Acta erudit. 1704. Die Aufgabe, den Grenzwert eines 
Bruches zu bestimmen, der die Form ~ oder die im nächsten Artikel 
OÜ 
besprochene annimmt, hat zum erstenmale (in geometrischer Ein 
kleidung) G. F. de VHospital, Analyse des infiniment petits, Paris 1696, 
in Angriff genommen. 
Czuber, Vorlesungea. I. 3. Aufl. 
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