Erster Teil. Differential-Rechnung. 
Avenn m > n, 
wenn m < w, 
Avenn m — n. 
l im <P( a + h ) = T ( "‘» 
h = o ip (a -(- h) (a) ; 
Das Verfahren, zu welchem diese Betrachtung führt, läßt 
sich folgendermaßen charakterisieren: Man differentiiere Zähler 
und Nenner des Bruches ~~~ je für sich und wiederhole dies 
so oft, Ins man im Zahler oder im Nenner zu einem Bifferen- 
tialquotienten kommt, der für x = a nicht Null ist; je nachdem 
dies im Nenner zuerst oder im Zähler zuerst oder nach m 
Wiederholungen in beiden gleichzeitig eintritt, ist lim ~—■ für 
lim x = a gleich Null, oder — oo oder = • 
cp(x) 
1p (x) ’ 
cp^-^ix) ... 
tur x = a die 
In dem letztgedachten Falle nimmt nicht allein 
sondern nehmen auch 7 
a[) (x) ’ ip [x) ’ 
(m-i) 
{X) 
unbestimmte Form - an und alle diese Quotienten haben den- 
selben Grenzwert 
TP {m \a) 
denn wendet man die Taylor sehe 
Formel auf cp (r) {a + li) und (a -j- h), wo r < m, an, so wird 
wegen <pW(a) = 0, qp (r+l )(a) = 0, ... = 0 und ip^ r \a) = 0, 
^>( r+1 )(a) = 0, . . . ip^ m ~ 1 \a) = 0: 
<P {r K a + Ä) = j 
ip( r i(a -(- h) 
(p (m) (a + d'h) 
2 ... (rn ■ 
,W, 
r) 
h m ~> 
und 
lim y (r) (« + *) ^ 9 W («) 
;, = o iia -f- h) (a) ’ 
so daß man schreiben kann: 
V"'(a + 0"h) 7 
1 • 2 .. . (m — r) 
,(»*)/ 
UmiM--- 
(4) f(a) - lim 1(1 <x [ = lim pr.-\ — ... 
Bisher wurde die kritische Stelle als im Endlichen liegend 
vorausgesetzt. Wenn aber cp(x), ip(x) mit beständig wachsen-