Vierter Abschnitt. Reihen. 
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höherer Ordnung als jede noch so hohe algebraische Potenz x n 
mit positivem Exponenten. Daraus schließt man umgekehrt, daß 
lim = 0. (w > 0). 
x = + oo e' 
Von dieser Funktion läßt sich leicht schließen auf 
/■(*) = 
Ix 
für n > 0 und lim x = -f- oo; denn setzt man Ix = z, so wird 
x = e z und mit lim x = + oo zugleich lini£ = -|-oo; die 
Funktion aber geht über in 
z 
JIZ 
infolgedessen ist 
Ix l ,. nz 
lim — = — lim — 
0. 
X— +oo X 
z = +oo V 
(» > 0). 
Hiernach wird der natürliche und jeder Logarithmus, dessen 
Basis größer als 1 ist, für lim x = + oo unendlich groß von 
niedrigerer Ordnung als jede positive Potenz. 
Mit Hilfe der Differentialrechnung wird die Grenzwert- 
hestimmung im vorliegenden Falle ebenso erledigt, wie hei 
der Form — • Zuerst soll dies unter der Voraussetzung gezeigt 
werden, daß lim x = + oo (oder — oo), und daß von einer 
Stelle X angefangeu ip'(x) nicht mehr Null wird, ip{x) also 
monoton verläuft. Dann gilt der Satz, daß, sofern ~~~| einen 
Grenzwert A besitzt, ~~~ gegen denselben Grenzwert konvergiert. 
Sind nämlich x 0 , x (x 0 < x) zwei Werte der Variablen, 
welche dem Intervalle (X, -f- oo) angehören, so ist nach dem 
verallgemeinerten Mittelwertsatze (39): 
cp{x) — cp(x 0 ) = (p'jx,) _ 
ap(x) — ip(x 0 ) t\x 1 )'’ 
X 0 <X,<X‘, 
daraus schließt man weiter: 
1 _ y( g o) 
<pjx) _ <p{x) = <p_ («1) 
y{x) 1 _ ip (x 0 ) 1p' (X x ) 
ip(x)