278 Erster Teil. Differential-Rechnung. 
und 
(5) 
<p(%) = ip(x) _ <F (%) 
rp(x) cp{x 0 ) ' Iff (x t ) 
cp(x) 
Da nun ~-rfl für lim x = + oo den Grenzwert A hat, so kann 
Tp (x) ’ 
man x Q so groß festsetzen, daß ^ von A um einen beliebig- 
kleinen Betrag £ verschieden, also gleich A + £ ist; nach Fest 
setzung von x Q kann man ferner x so groß annehmen, daß 
der Bruch 
1 _ l^o) 
( x ) 
1 9 foo) 
cp{x) • 
von der Einheit um einen beliebig kleinen Betrag sich unter 
scheide, also gleich 1 + rj sei; dann aber hat man 
cp{x) 
■xp (,X) 
= (f ± v) ± £ )> 
und weil £, rj dadurch, daß man x 0 und x groß genug wählt, 
der Null immer näher gebracht werden können, so ist tat 
sächlich 
lim 
X= +00 
cp{x) 
— A = lim 
X= +00 
<p'ip) m 
xp\x) ' 
Der Satz gilt auch dann noch, wenn mit x ins Un- 
° 7 Tp {x) 
endliche wachsen sollte; denn da der erste Faktor der rechten 
Seite in (5) gegen 1 konvergiert, so ist mit lim = oo 
X = +cc' l P \ x ) 
auch lim —^ = oo. 
* = +0 o' I K«) 
Der Fall, daß die unbestimmte Form — für lima; = 
7 Tp (x) 
oo 
a 
annimmt, läßt sich auf den vorigen durch die Substitution 
uud darauffolgenden Grenzübergang lim £=-(-00 (oder — oo) 
zurückführen: da aber