Erster Abschnitt. Variable und Funktionen. 
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geometrisch der gegebene Punkt, und diesem wie jenem ist die 
durch die beiden Fundamentalreihen definierte Zahl zugeordnet. 
Dieselbe kann ebensowohl rational wie irrational sein; so 
würde z. B. der Punkt, welcher die rationale Zahl darstellt, 
bei dem beschriebenen Prozesse niemals erreicht werden gerade 
so, wie es mit dem Punkte der Fall ist, welcher der Zahl ]/2 
entspricht. 
Der geraden Linie kommt nun in bezug auf die in ihr 
liegenden Punkte eine Eigenschaft zu, deren Wesen Dedekind*) 
in dem Axiom ausdrückt, daß eine Teilung der Punkte in zwei 
Klassen derart, daß jeder Punkt der einen Klasse links von 
jedem Punkt der andern Klasse liegt, jedesmal nur durch einen 
einzigen Punkt möglich ist; diese Eigenschaft nennt man die 
Stetigkeit oder Kontinuität und die Gerade in bezug auf die in 
ihr liegenden Punkte ein Kontinuum. 
Da jedem Punkte der Geraden nach den gemachten Aus 
führungen eine reelle Zahl entspricht, so bezeichnet man das 
System der reellen Zahlen als ein stetiges oder als ein Zahlen 
kontinuum. 
6. Imaginäre und komplexe Zahlen. Dieselbe Um 
kehrung des Potenzierens, welche uns Anlaß geboten hat zur 
Schaffung der irrationalen Zahlen, das Wurzelziehen, führt in 
einer Klasse, von Fällen über das System der reellen Zahlen 
hinaus. Wenn nämlich der Radikand eine negative reelle Zahl 
der Wurzelexponent eine gerade Zahl ist, so findet die Auf 
gabe im System der reellen Zahlen keine Lösung, weil nach 
den Regeln, welche die Arithmetik für die Multiplikation posi 
tiver und negativer Zahlen angibt, sowohl eine positive wie 
auch eine negative Zahl zu einer geraden Potenz erhoben auf 
eine positive Zahl führt. Um auch in diesem Falle die Schranke 
aufzuheben und die Lösung zu ermöglichen, führt man das 
Ausziehen der 2n-ten Wurzel aus der negativen Zahl — JB 
zunächst auf das Ausziehen der Quadratwurzel aus der Zahl 
— 1 zurück, indem man die für die andern Fälle geltenden 
Rechengesetze fortbestehen läßt und schließt: 
:; der Endpunkt 
(positiven oder 
з Strecke, welche 
з ist, vom Null- 
:iven Halbstrahl) 
ild von In 
о 
istimmter Punkt 
зг Geraden sind 
inter die Punkte 
gonale des Qua 
ste aus auf den 
Werten von ]/2 
Wahlen nicht an- 
eraden eine be- 
man den Punkt 
зеке vom Null- 
iin; durch Zehn- 
. der Größe ^ 
itervall von der 
, wie weit man 
igebenen Punkte 
i nach einer be- 
Prozesses eine 
die dem Punkte 
näherliegenden 
sine unbegrenzt 
Endpunkten eine 
;n der Charakter 
zukommt, durch 
hnitt entspricht