284 Erster Teil. Differential-Rechnung. 
Wo dieser Weg nicht eingeschlagen werden kann oder 
beschwerlich ist, da bringe man f{x) in eine Gestalt, die für 
lim x — a die unbestimmte Form — annimmt, indem man 
setzt derart, daß cp 2 (x), (x) für lim x — a gegen Null, cp 1 (x), 
■¡¡j x (x) aber weder gegen Null noch gegen oo konvergieren. 
Dann erlangt 
fix) = 
qPi («) % (x) — qp 2 (x) % (x) 
cp 2 {x)%(x) 
die Form welche nach früher entwickelten Methoden zu 
behandeln ist. Auch eine der beiden Darstellungen: 
p -y{ x ) P <p i x ) 
f{x) = cp(x) - ip{x) = l = l^-- {x) 
kann zum Ziele führen. 
Beispiele. 1) Es sei für 
f(x) = 2x tg x — n sec x 
der Grenzwert zu bestimmen bei lim x — ~ • Man findet 
lim f(x) = lim 
2 x sin x 
ß sin x-\-2x cos x> 
COS X 
2) Die Funktion f(x) = -.- 2 K 2 wird bei lim x = 0 
sm 00 00 
unbestimmt; es ist nun: 
,. N ,. x 2 —sin 2 « 
lim / [x) = lim 
x = 0 
x z sin 2 X 
lim 
2« — sin 2« 
2« sin 2 «-]-« 2 sin 2x 
2 — 2 cos 2« 
2 sin 2 x -(- 4 x sin 2 x -j-2 « 2 cos 2 x 
4 sin 2 x 
1 6 sin 2« -|A 2« cos 2«—4 « 2 sin 2« 
8 cos 2« \ 
\24cos2«—32«sin2« — 8« 2 cos2«/a;=o 3 7 
dreimal wiederholt sich die Form und erst der Quotient 
aus den vierten Differentialquotienten führt zu dem Grenzwerte. 
3) Man weise nach, daß — 2 — cotg 2 x für x = 0 den Grenz- 
2 
wert — besitzt. 
O