Fünfter Abschnitt. 
Maxima und Minima der Funktionen. 
§ 1. Maxima und Minima der Funktionen einer Variablen. 
114. Begriff der extremen Werte einer Funktion. 
In dem Verlaufe einer nicht einförmigen oder nicht monotonen 
stetigen Funktion (17) sind solche Werte der Variablen von 
besonderer Bedeutung, bei welchen der Übergang vom Wachsen 
ins Abnehmen oder das Umgekehrte stattfindet, mit anderen 
Worten, bei welchen die Trennung der Kontinua erfolgt, welche 
die Funktion in abwechselndem Sinne durchläuft. Die für 
solche Werte der Variablen geltenden Werte der Funktion sind 
es, welche in den Anwendungen der Analysis häufig vorzugs 
weise in Betracht kommen. Man bezeichnet sie als extreme 
Werte der Funktion oder als Extreme kurzweg; ihre genaue 
Kennzeichnung und Unterscheidung besteht in Folgendem. 
Es sei f{x) eine in dem Intervalle (cc, ß) definierte ein 
deutige und stetige Funktion der Variablen x. Dieselbe hat 
an einer innerhalb (a, ß) gelegenen Stelle x = a einen größten 
Wert oder ein Maximum, wenn sich eine Umgebung von a 
feststellen läßt derart, daß der an der Stelle a geltende Wert 
f{a) der Funktion größer ist als jeder andere aus dieser Um 
gebung; die Funktion hat an der mehrerwähnten Stelle einen 
hleinsten Wert oder ein Minimum, wenn sich eine Umgebung 
von a angeben läßt derart, daß der Funktionswert f(a) kleiner 
ist als jeder andere aus dieser Umgebung. 
Es läßt sich also dieser Definition zufolge ein positiver 
Betrag 7] so bestimmen, daß im Falle eines Maximums 
(1) f{a + h) — f{a) < 0 
und im Falle eines Minimums 
(2) f(a + h)-f(a)>0