Fünfter Abschnitt. Maxima und Minima der Funktionen, 289 
welcher die Funktion ein Extrem erreicht, ihr I) ifferentialquotient 
verschwindet. 
Im Falle eines Maximums ist nämlich vermöge der Re 
lation (1) 
f(a + h) — f(a) 
h 
für Werte von h aus dem Intervalle (— rj, 0) positiv, für Werte 
aus (0, 7]) negativ, und der eine Grenzwert dieses Quotienten 
für lim h — + 0 kann daher weder negativ noch positiv sein, 
es muß also 
(3) f(a) = 0 
sein. Im Falle eines Minimums ist derselbe Quotient vermöge 
(2) links von a negativ, rechts davon positiv, sein als existierend 
vorausgesetzter Grenzwert für lim h = + 0 kann deshalb weder 
positiv noch negativ, muß also notwendig gleich Null sein. 
Daraus aber ist der folgende Schluß zu ziehen: Wenn die 
Funktion f{x) an jeder Stelle zwischen a und ß einen eigentlichen 
JDifferentiolquotienten besitzt, so sind die Werte von x, für welche 
sie ein Extrem erlangen kann, unter den Wurzeln der Gleichung 
f'{x) = 0 zu suchen. 
Wäre x = a eine dieser Wurzeln, so bestünde die un 
mittelbarste Entscheidung der Frage, ob hier ein Extrem und 
welches von beiden stattfindet, in der Untersuchung des Vor 
zeichens von f(a + h) für entsprechend kleine, entgegengesetzt 
bezeichnete Werte von h; ist nämlich f\a -f- h) in einer ent 
sprechend klein festgestellten Umgebung von a links von a 
positiv, rechts davon negativ, so ist f(x) in dieser Umgebung 
links von a wachsend, rechts von a abnehmend und erlangt 
in a selbst ein Maximum, bei dem umgekehrten Verhalten ein 
Minimum. 
Die Funktion f(x) = 2x 3 — ox 2 b beispielsweise besitzt 
für alle Werte von x einen eigentlichen Differentialquotienten: 
fix) = 6x(x — 1), 
und die Gleichung fix) = 0 hat die beiden Wurzeln x = 0 
und x = 1. Bedeutet d eine positive Zahl < 1, so ist 
f\- ä) = 6d(l + d) > 0 
r(d) = — 6d( 1 — d) < 0; 
Czuber; Vorlesungen. I. 3. Anü. 
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