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f Erster Teil. Differential-Rechnung. 
Vermöge der Stetigkeit von f66{x) läßt sich eine hinreichend 
kleine Umgehung von a feststellen so, daß innerhalb derselben 
f( n )(x) von f^ n \a) um beliebig wenig sich unterscheidet, daß 
also fW(a -{-61%) dasselbe Vorzeichen hat wie f^(a). 
Dann hat für ein gerades n die Differenz f(a -f h) — f(a) 
in dieser ganzen Umgebung, also zu beiden Seiten von a, das 
selbe Vorzeichen wie /’W(a); f(a) ist sonach ein Extrem und 
zwar ein Maximum, wenn f66(a) < 0, ein Minimum, wenn 
/»(a) > 0. 
Für ein ungerades n dagegen ändert die Differenz f(a + h) 
— f(ai) mit h zugleich ihr Vorzeichen, infolgedessen ist f(a) 
kein Extrem. 
Das Ergebnis dieser Betrachtung kann in dem Satze zu 
sammengefaßt werden: An einer Stelle x = a, welche der Glei 
chung f'(x) = 0 genügt, hat die Funktion f(x) ein Extrem nur 
dann, wenn der nächste an dieser Stelle nicht verschwindende 
Differentialquotient von f{x) von gerader Ordnung ist; ist er 
negativ, so ist f{a) ein Maximum, ist er positiv, so ist f{a) ein 
Minimum. 
Die beiden in 116 nachgewiesenen Sätze sind spezielle 
Fälle dieses allgemeinen Satzes. 
Das gemeinsame Merkmal des Maximums und Minimums, 
das in der Gleichung 
f'(a) = 0 
sich ausspricht, hat im Zusammenhalte mit 22, 2) eine einfache 
Bedeutung in dem Falle, wo man die Werte von f(x) durch 
die Ordinaten einer Kurve in einem rechtwinkligen Koordinaten 
system darstellt; es sagt aus, daß in einem Punkte, der einem 
Extrem entspricht, die Tangente an jene Kurve parallel ist zur 
Abszissenachse. Man erkennt leicht, daß dies auch für schief 
winklige Koordinaten gilt. 
118. Beispiele. 1) Die in 115 behandelte Funktion 
f(x) — 2x z — Sx* + l), 
deren Differeutialquotient für x = 0 und x — 1 Null wird, er 
ledigt sich mit Hilfe des zweiten Differentialquotienten 
f"{x) = 12x - 6,