296 Erster Teil. Differential-Rechnung. 
für diese Werte von sin#, cosx nimmt f"{x) einen der Werte 
+ VaM-T 2 
an; infolgedessen hat die Funktion an der durch 
b 
sin x 
]/a 2 + b 
, COS X = 
-/a* + 6* 
bestimmten Stelle ein Maximum von der Größe ]/a 2 -f- & 2 und 
an der durch 
b a 
sin x = 
a 2 -f- b 2 ’ 
COS X = 
■1/ä* + 6* 
bestimmten Stelle ein Minimum von der Größe — ]/a 2 -f ft 2 . 
Man bemerke, daß sich die vorgelegte Funktion in die 
Gestalt 
b_ 
a. 
fix) = ]/a 2 -f & 2 cos (# — arctg — 
bringen läßt, an welcher die extremen Werte unmittelbar zu 
erkennen sind. 
5) Die Zahl a ist in zwei Teile zu zerlegen derart, daß 
das Produkt dieser Teile den größtmöglichen Wert aunehme.*) 
Ist der eine Teil x, so ist a — x der andere, und es han 
delt sich um das Maximum von 
f(x) = x(a — x). 
Aus f'{x) = a — 2x = 0 folgt x.= y> unc ^ da f"( x ) = — 2 
negativ ist, so ist tatsächlich 
der größtmögliche Wert des Produktes. 
Auf diesen einfachen Fall lassen sich mancherlei Probleme 
zurückführen; als Beleg dafür mögen die folgenden dienen. 
a) Unter den Rechtecken von gegebenem Umfange 2 a 
jenes von der größten Fläche zu bestimmen. 
Heißt eine Seite des Rechtecks x, so ist a — x die andere; 
es soll also x(a — x) ein Maximum werden. Das verlangte 
Rechteck ist demnach das Quadrat. 
*) In geometrischer Fassung zuerst von P. Fermat (1638) behandelt.