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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
Setzt man AA' = a, BB' = b, A'B'= c, A'B = x, so ist 
s = ]/a 2 + x 2 + ]/b 2 + (c — #) 2 , 
und die notwendige Bedingung für ein Extrem lautet: 
ds 
dx 
0) 
0, 
]/a 2 -f ic 2 y'6 2 -j-(c—ic) s 
oder in den Linien der Figur ausgedrückt: 
Ä'P _ PB' 
AP ~ BP 5 
daraus schließt man auf die Ähnlichkeit der Dreiecke AA'P 
und BB'P und hieraus wieder auf die Gleichheit der Winkel 
X'BA und XPB (Reflexionsgesetz). Die Konstruktion von P 
geschieht in der Weise, daß B'B 1 =BB' gemacht und A mit 
B 1 verbunden wird. 
Die direkte Verfolgung der Bedingungsgleichung (cc) führt 
nach Beseitigung der Irrationalitäten und der Nenner zu der 
quadratischen Gleichung 
(ß) (6 2 — a 2 )x 2 + 2a 2 cx — a 2 c 2 = 0, 
und diese gibt die beiden Wurzeln 
ac ac 
x* = 
Xo = 
a -f b ’ a — b 7 
die erste leitet auf die gefundene Lösung hin; denn aus der 
hervorgehobenen Ähnlichkeit folgt 
Ä'P : a = (c — A'P) : b, 
woraus 
A'P = 
ci “j— h 
= X, 
Die zweite Lösung ist der gestellten Aufgabe fremd und rührt 
daher, daß die Gleichung (/3) umfassender ist als (cc) infolge 
der ausgeführten Quadrierung; die Gleichung (ß) schließt auch 
die Bedingung für das Maximum von AP — BP oder von 
Ya 2 + x 2 — Yb 2 + (c — x) 2 
in sich und hierfür gilt x 2 , das den Schnittpunkt Q der Ge 
raden AB mit XX' bestimmt; in der Tat ist 
AP — PB < AB, 
daher AB der Maximalwert der Differenz AP — PB, welcher 
sich dann einstellt, wenn P mit Q zusammenfällt.